Question

如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M為BC的中點，求證：DM=

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AB．

Answer 1

考點：三角形中位線定理,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：取AC的中點N，連接MN，DN，由M為BC的中點，得到MN為三角形ABC的中位線，利用中位線定理得到MN等于AB的一半，且MN與AB平行，由兩直線平行同位角相等得到∠NMC=∠B，而∠B=2∠C，等量代換得到∠NMC=2∠C，而DN為直角三角形ADC斜邊上的中線，得到DN=NC，等邊對等角得到∠MDN=∠C，又∠NMC為三角形DMN的外角，利用三角形的外角性質(zhì)及等量代換可得出∠MDN=∠MND，利用等角對等邊可得出DM=MN，等量代換即可得證．

解答：證明：取AC的中點N，連接MN，DN，
∵M為BC的中點，
∴MN為△ABC的中位線，
∴MN∥AB，且MN=

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AB，
∴∠B=∠NMC，又∠B=2∠C，
∴∠NMC=2∠C，
∵∠NMC為△DMN的外角，
∴∠NMC=∠MDN+∠MND=2∠C，
又DN為Rt△ADC斜邊上的中線，
∴DN=NC=AN=

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2

AC，
∴∠MDN=∠C，
∴∠MND=∠C=∠MDN，
∴DM=MN，
則DM=

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2

AB．

點評：此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，三角形的外角性質(zhì)，以及平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．