Question

已知：A、B、C、D共圓，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，求S_{四邊形ABCD}．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：如圖，作輔助線；首先證明△ABM≌△ADN；同理可證：△ACM≌△ACN，得到S_{四邊形ABCD}=2S_△ACN；求出CN、AN的長度，即可解決問題．

解答：解：如圖，過點(diǎn)A作AN⊥CD，AM⊥CB，交CB的延長線于點(diǎn)M；
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD為等邊三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，
∴∠ACD=∠ABD=60°，∠ACB=∠ADB=60°，
∴AC平分∠BCD，AM=AN；
在△ABM與△ADN中，

AB=AD AM=AN

，
△ABM≌△ADN（HL），
同理可證：△ACM≌△ACN，
∴S_{四邊形ABCD}=2S_△ACN；
在△ACN中，sin60°=

AN

AC

，cos60°=

CN

AC

，
∴AN=

3

2

a，CN=

1

2

a，
∴S_{四邊形ABCD}=2×

1

2

•CN•AN=

3

4

a2．

點(diǎn)評：該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、等邊三角形的判定及其性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等幾何知識點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．