Question

【題目】閱讀下列一段文字，然后回答下列問題：

已知平面內(nèi)兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其兩點間的距離。例如：已知P(3，1)，Q(1，-2)，則這兩點間的距離.特別地，如果兩點M(x1，y1)，N(x2，y2)，所在的直線與坐標(biāo)軸重合或平行于坐標(biāo)軸或者垂直于坐標(biāo)軸，那么這兩點間的距離公式可簡化為或。

(1)已知A(2，3)，B(-1，-2)，則A，B兩點間的距離為_________；

(2)已知M，N在平行于y軸的直線上，點M的縱坐標(biāo)為-2，點N的縱坐標(biāo)為3，則M，N兩點間的距離為_________；

(3)在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(0，4)，B(4，2)，在x軸上找點P，使PA+PB的長度最短，求出點P的坐標(biāo)及PA+PB的最短長度.

Answer 1

【答案】(1)；(2)5；(3) PA+PB的長度最短時，點P的坐標(biāo)為(，0)，PA+PB的最短長度為.

【解析】

（1）直接利用兩點之間距離公式直接求出即可；
（2）根據(jù)題意列式計算即可；
（3）利用軸對稱求最短路線方法得出P點位置，進而求出PA+PB的最小值．

(1) （1）∵A（2，3），B（-1，-2），
∴A，B兩點間的距離為： ；

(2) ∵M，N在平行于y軸的直線上，點M的縱坐標(biāo)為-2，點N的縱坐標(biāo)為3，
則M，N兩點間的距離為3-（-2）=5；

(3)如圖，作點A關(guān)于x軸的對稱點A′，連接A′B與x軸交于點P，此時PA+PB最短

設(shè)A′B的解析式為y=kx+b

將A′(0，-4)，B(4，2)代入y=kx+b得

解得

∴直線設(shè)A′B的解析式為

令y=0得

∴P(0，).

∵PA′=PA

∴PA+PB=PA′+PB=A′B=

∴PA+PB的長度最短時，點P的坐標(biāo)為(，0)，PA+PB的最短長度為.