Question

【題目】如圖，已知一次函數(shù)y＝x－2與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于點(diǎn)A(2, n) ，與x軸相交于點(diǎn)B．

（1）求k 的值以及點(diǎn) B 的坐標(biāo)；

（2）以AB為邊作菱形ABCD，使點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D在第一象限，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使PA＋PB的值最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）k=6，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0）；（2）D（2＋，3）；（3）存在，P（0，）．

【解析】

（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式可求得n，則可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式則可求得k的值，最后根據(jù)y＝0可得點(diǎn)B的坐標(biāo)
（2）根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式可得AB的長(zhǎng)，由菱形的邊長(zhǎng)相等可得AD＝AB，根據(jù)AD與BC平行，可知A與D的縱坐標(biāo)相等，由此可得D的坐標(biāo)；
（3）作點(diǎn)B（，0）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，0），連接AQ交y軸的交點(diǎn)為P，求出AQ解析式即可求解．

解：（1）把點(diǎn)A（2，n）代入一次函數(shù)y＝x2，
可得n＝×22＝3；
把點(diǎn)A（2，3）代入反比例函數(shù)y＝，
可得k＝xy＝2×3＝6，
∵一次函數(shù)y＝x2，與x軸相交于點(diǎn)B，
∴x2＝0，
解得x＝，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0）；
（2）∵點(diǎn)A（2，3），B（，0），
∴AB＝，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝，AD∥BC，
∵點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D在第一象限，
∴D（2＋，3）；
（3）存在，

如圖，作點(diǎn)B（，0）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，0），連接AQ交y軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA＋PB的值最小，
設(shè)直線AQ的解析式為：y＝mx＋b，
則，解得：，

∴直線AQ的關(guān)系式為，

當(dāng)x=0時(shí)，y=

∴直線AQ與y軸的交點(diǎn)為P（0，）．