Question

如圖，點(diǎn)A、B在⊙O上，直線AC是⊙O的切線，OC⊥OB，連接AB交OC于點(diǎn)D．

（1）求證：AC=CD．

（2）若AC=2，AO=，求OD的長(zhǎng)．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）1.

【解析】

試題分析：（1）由AC為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到∠OAC為直角，再由OC與OB垂直，得到∠BOC為直角，由OA=OB，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再利用對(duì)頂角相等及等角的余角相等得到一對(duì)角相等，利用等角對(duì)等邊即可得證.

（2）由ODC=OD+DC，DC=AC，表示出OC，在直角三角形OAC中，利用勾股定理即可求出OD的長(zhǎng).

試題解析：（1）∵OA=OB，∴∠OAB=∠B.

∵直線AC為圓O的切線，∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°.

∵OB⊥OC，∴∠BOC=90°. ∴∠ODB+∠B=90°.

∵∠ODB=∠CDA，∴∠CDA+∠B=90°.

∴∠DAC=∠CDA. ∴AC=CD.

（2）在Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=，OC=OD+DC=OD+2，

根據(jù)勾股定理得：OC2=AC2+AO2，即（OD+2）2=22+（）2，

解得：OD=1（負(fù)值已舍去）.

考點(diǎn)：1.等腰三角形的判定和性質(zhì)；2.切線的性質(zhì)；3.勾股定理.