Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線 (b，c為常數(shù))的頂點為P，等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標(biāo)為(0，–1)，C的坐標(biāo)為(4，3)，直角頂點B在第四象限．

(1)如圖，若該拋物線過A，B兩點，求b，c的值；

(2)平移(1)中的拋物線，使頂點P在直線AC上滑動，且與直線AC交于另一點Q．

①點M在直線AC下方，且為平移前(1)中的拋物線上的點，當(dāng)以M，P，Q三點為頂點的三角形是以PQ為腰的等腰直角三角形時，求點M的坐標(biāo)；

②取BC的中點N，連接NP，BQ．當(dāng)取最大值時，點Q的坐標(biāo)為________.

 

 

Answer 1

（1）；（2）①（4，﹣1），（﹣2，﹣7）；②.

【解析】

試題分析：（1）先求出點B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求即可求得b，c的值.

（2）①首先求出直線AC的解析式和線段PQ的長度，作為后續(xù)計算的基礎(chǔ)，當(dāng)以M，P，Q三點為頂點的三角形是以PQ為腰的等腰直角三角形時，點M到PQ的距離為．此時，將直線AC向右平移4個單位后所得直線（y=x-5）與拋物線的交點，即為所求之M點.

②由①可知，PQ=為定值，因此當(dāng)NP+BQ取最小值時，有最大值．如答圖2所示，作點B關(guān)于直線AC的對稱點B′，由分析可知，當(dāng)B′、Q、F（AB中點）三點共線時，NP+BQ最小，進而求出點Q的坐標(biāo).

試題解析：（1）由題意，得點B的坐標(biāo)為（4，﹣1）．

∵拋物線過A（0，﹣1），B（4，﹣1）兩點，

∴，解得.

（2）①由（1）得拋物線的函數(shù)表達式為：.

∵A（0，﹣1），C（4，3），∴直線AC的解析式為：y=x﹣1.

設(shè)平移前拋物線的頂點為P0，則由（1）可得P0的坐標(biāo)為（2，1），且P0在直線AC上.

∵點P在直線AC上滑動，∴可設(shè)P的坐標(biāo)為（m，m﹣1）.

則平移后拋物線的函數(shù)表達式為：.

解方程組：，解得，.

∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）.

過點P作PE∥x軸，過點Q作QE∥y軸，則

PE=m﹣（m﹣2）=2，QE=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2，

∴PQ==AP0.

當(dāng)以M，P，Q三點為頂點的三角形是以PQ為腰的等腰直角三角形時，點M到PQ的距離為（即為PQ的長），

由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P0（2，1）可知，

△ABP0為等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0=.

如答圖1，過點B作直線l1∥AC，交拋物線于點M，則M為符合條件的點.

∴可設(shè)直線l1的解析式為：y=x+b1.

∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b1，解得b1=﹣5.∴直線l1的解析式為：y=x﹣5.

解方程組，得：，.

∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7）.

②取點B關(guān)于AC的對稱點B′，易得點B′的坐標(biāo)為（0，3），BQ=B′Q．

如答圖2，連接QF，F(xiàn)N，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，

∴四邊形PQFN為平行四邊形．

∴NP=FQ．

∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′.

∴當(dāng)B′、Q、F三點共線時，NP+BQ最小，則取最大值，

∴點Q的坐標(biāo)為.

考點：1.二次函數(shù)綜合題；2.平移問題；3.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；4.待定系數(shù)法的應(yīng)用；5.曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；6.等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；7.軸對稱的應(yīng)用（最短路線問題）.