Question

邊長為2的正方形ABCD的兩頂點A、C分別在正方形EFGH的兩邊DE、DG上(如圖1)，現(xiàn)將正方形ABCD繞D點順時針旋轉(zhuǎn)，當A點第一次落在DF上時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中， AB邊交DF于點M，BC邊交DG于點N.

（1）求邊DA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；

（2）旋轉(zhuǎn)過程中，當MN和AC平行時(如圖2)，求正方形ABCD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；

（3）如圖3，設(shè)△MBN的周長為p，在旋轉(zhuǎn)正方形ABCD的過程中，p值是否有變化？請證明你的結(jié)論.

 

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）不變化，證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）將正方形ABCD繞D點順時針旋轉(zhuǎn)，當A點第一次落在DF上時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，DA旋轉(zhuǎn)了，從而根據(jù)扇形面積公式可求DA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積.

（2）旋轉(zhuǎn)過程中，當MN和AC平行時，根據(jù)平行的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)可求正方形ABCD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為.

（3）延長BA交DE軸于H點，通過證明和可得結(jié)論.

（1）∵A點第一次落在DF上時停止旋轉(zhuǎn)，∴DA旋轉(zhuǎn)了.

∴DA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為.

（2）∵MN∥AC，∴,.

∴.∴.

又∵，∴.

又∵ ,∴.

∴.∴.

∴旋轉(zhuǎn)過程中，當MN和AC平行時，正方形ABCD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為 .

(3)不變化，證明如下：

如圖， 延長BA交DE軸于H點，則

，，

∴.

又∵.∴．

∴．

又∵, ,∴．

∴.∴.

∴.

∴在旋轉(zhuǎn)正方形ABCD的過程中，值無變化.

考點：1.面動旋轉(zhuǎn)問題；2．正方形的性質(zhì)；3.扇形面積的計算；4.全等三角形的判定和性質(zhì).