Question

如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在x軸和y軸上，且OA=OB=4，直線BC交x軸于點(diǎn)C，已知S_△BOC=S_△ABC，
（1）求直線BC的解析式；
（2）在直線BC上求作一點(diǎn)P，使四邊形OBAP為平行四邊形（尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法）；
（3直線BC上是否存在點(diǎn)M，使△OAM為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)三角形BOC面積與三角形ABC面積相等，得到C為OA的中點(diǎn)，確定出C坐標(biāo)，設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，將B與C坐標(biāo)代入求出k與b的值，即可確定出直線BC解析式；
（2）以A為圓心，OB長為半徑在第四象限畫弧，以O(shè)為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，利用兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形得到ABOP為平行四邊形；
（3）以A為圓心，OA長為半徑畫弧，與BC交于點(diǎn)M，以O(shè)為圓心，OA長為半徑畫弧，與CP交于M′，設(shè)M（x，y），利用兩點(diǎn)間的距離公式列出方程，與直線BC解析式聯(lián)立求出M坐標(biāo)，同理求出M′坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵S_△BOC=S_△ABC，且兩三角形同高，
∴OC=AC=

1

2

OA=2，
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，
將C（2，0）和B（0，4）代入得：

2k+b=0 b=4

，
解得：k=-2，b=4，
則直線BC解析式為y=-2x+4；
（2）如圖所示：以A為圓心，OB長為半徑在第四象限畫弧，以O(shè)為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，
則四邊形ABOP為所求的平行四邊形；
（3）直線BC上存在點(diǎn)M，使△OAM為等腰三角形，
以A為圓心，OA長為半徑畫弧，與BC交于點(diǎn)M，以O(shè)為圓心，OA長為半徑畫弧，與CP交于M′，如圖所示，
設(shè)M（x，y），由AM=OA=4，得到

(x-4)2+y2

=4，即（x-4）²+y²=16，
與直線BC解析式聯(lián)立得：

y=-2x+4 (x-4)2+y2=16

，
消去y得：5x²-24x+16=0，即（5x-4）（x-4）=0，
解得：x=

4

5

或x=4（不合題意，舍去），
將x=

4

5

代入得：y=-

8

5

+4=

12

5

，
此時(shí)M坐標(biāo)為（

4

5

，

12

5

）；
以O(shè)為圓心，OA長為半徑畫弧，與CP交于M′，
設(shè)M′（m，n），由OM′=OA=4，得到m²+n²=16，
聯(lián)立得：

n=-2m+4 m2+n2=16

，
消去n，整理得：m（5m-16）=0，
解得：m=

16

5

或m=0（不合題意，舍去），
將m=

16

5

代入得：n=-

12

5

，
此時(shí)M′（

16

5

，-

12

5

）．

點(diǎn)評：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，平行四邊形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題第一問的關(guān)鍵．