Question

如圖，⊙O上兩點C、E關(guān)于直徑AB對稱，連接AC、BC，過C作CE的垂線，交⊙O于點D，交EB的延長線交于點F，且BC：CA=

3

：1，AB=10，
（1）證明：B是EF的中點；
（2）求CF的長．

Answer 1

考點：垂徑定理,等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）求出AB=10，BC=5

3

，AC=5，推出BC=BE，解直角三角形求出∠A=60°=∠CEB，得出△CBE是等邊三角形，推出BC=BE，∠ECB=60°，求出∠F=∠FCB=30°，推出CB=BF即可；
（2）由（1）得：CE=CB=5

3

，∠E=60°，解直角三角形得出CF=CE•tan60°，代入求出即可．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∵BC：CA=

3

：1，AB=10，
∴AB=10，BC=5

3

，AC=5，
∵C、E關(guān)于直徑AB對稱，
∴CE⊥AB，且AB為⊙O的直徑，
∴弧BC=弧BE，
∴BC=BE，
∵tanA=

5 3

5

=

3

，
∴∠A=60°=∠CEB，
∴△CBE是等邊三角形，
∴BC=BE，∠ECB=60°，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF=90°，
∴∠F=∠FCB=90°-60°=30°，
∴CB=BF，
∴CB=BE=BF，
∴B為EF中點；

（2）解：由（1）得：CE=CB=5

3

，∠E=60°，
∴CF=CE•tan60°=5

3

×

3

=15．

點評：本題考查了垂徑定理，解直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算的能力，題目比較典型，有一定的難度．