【題目】已知拋物線經(jīng)過A(2,0). 設(shè)頂點為點P,與x軸的另一交點為點B.

(1)求b的值,求出點P、點B的坐標;

(2)如圖,在直線 上是否存在點D,使四邊形OPBD為平行四邊形?若存在,求出點D的坐

標;若不存在,請說明理由;

(3)在x軸下方的拋物線上是否存在點M,使AMP≌△AMB?如果存在,試舉例驗證你的猜想;如果不存在,試說明理由.

【答案】1,P的坐標為(4,,B的坐標是(6,0)2D點的坐標為(2, 3存在,證明見解析

【解析】解:(1)拋物線經(jīng)過A(2,0),

,解得。

拋物線的解析式為

,

頂點P的坐標為(4,)。

令y=0,得,解得。

點B的坐標是(6,0)。

(2)在直線 上存在點D,使四邊形OPBD為平行四邊形。理由如下:

設(shè)直線PB的解析式為,把B(6,0),P(4, )分別代入,得

, 解得

直線PB的解析式為。

直線OD的解析式為

直線PBOD。

設(shè)直線OP的解析式為,把P(4, )代入,得

,解得。

如果OPBD,那么四邊形OPBD為平行四邊形。

設(shè)直線BD的解析式為,將B(6,0)代入,得

,解得。

直線BD的解析式為

聯(lián)立方程組,解。

D點的坐標為(2,

(3)符合條件的點M存在。驗證如下:

過點P作x軸的垂線,垂足為為C,

則PC=,AC=2,

由勾股定理,可得AP=4,PB=4。

AB=4,APB是等邊三角形

PAB的平分線交拋物線于M點,連接PM,BM。

AM=AMPAM=BAM,AB=AP,AMP≌△AMB.(SAS)。

因此即存在這樣的點M,使AMP≌△AMB.。

(1)由拋物線經(jīng)過A(2,0),代入即可求出b的值;從而得出拋物線的解析式,化為頂點式即可求出頂點P的坐標;令y=0,即可求出點B的坐標。

(2)用待定系數(shù)法,求出直線PB、BD的解析式,聯(lián)立,解之即得點D的坐標。

(3)由勾股定理求出AP、BP和AB的長,證出APB是等邊三角形,即可作BP的中垂線AM交BP于點M,點M即為所求。

練習(xí)冊系列答案
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請結(jié)合小聰研究問題的過程和思路,在這種特殊情況下填空:△D′BC的形狀是   三角形;∠ADB的度數(shù)為   

(2)在原問題中,當∠DBC<∠ABC(如圖1)時,請計算∠ADB的度數(shù);

(3)在原問題中,過點A作直線AE⊥BD,交直線BDE,其他條件不變?nèi)?/span>BC=7,AD=2.請直接寫出線段BE的長為   

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(2)如圖(2),當點D運動到點B的左側(cè)時,其他條件不變,請猜想∠BAD和∠CDE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

(3)當點D運動到點C的右側(cè)時,其他條件不變,∠BAD和∠CDE還滿足(2)中的數(shù)量關(guān)系嗎?請畫出圖形,并說明理由.

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(1)求點B的坐標及直線BC對應(yīng)的函數(shù)表達式;

(2)在線段OB上存在點P,使得點P到點B,C的距離相等,試求出點P的坐標;

(3)如果在x軸上方存在點D,使得以點A,B,D為頂點的三角形與△ABC全等,請直接寫出點D的坐標.

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