Question

如圖，已知拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于A（﹣2，0），B（8，0）兩點，與y軸交于點C，連接BC，以BC為一邊，作菱形BDEC，使其對角線在坐標軸上，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將拋物線向上平移n個單位，使其頂點在菱形BDEC內(nèi)（不含菱形的邊），求n的取值范圍；

（3）當點P在線段OB上運動時，直線l交BD于點M．試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，并說明理由．

 

 

Answer 1

（1）y=x2﹣x﹣4；（2）；（3）m=4時，四邊形CQMD是平行四邊形，理由詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）由待定系數(shù)法即可求得．

（2）先求得直線BC的解析式和拋物線的頂點坐標G（3，﹣），然后把x=3代入直線BC的解析式即可求得F的坐標，進而求得E的坐標即可求得n的取值．

（3）由菱形的對稱性可知，點D的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法可求直線BD的解析式，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得關(guān)于m的方程，求得m的值；再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形CQBM的形狀；

試題解析:（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于A（﹣2，0），B（8，0）兩點，

∴ 解得

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣4；

（2）設拋物線的頂點為G，過G點作x軸的垂線交BD于E，交BC于F，

由拋物線的解析式y(tǒng)=x2﹣x﹣4可知C（0，﹣4）

設直線BC的解析式為y=k1x+b1，

∵B（8，0），C（0，﹣4），則，

解得k1=，b1=﹣4．

故直線BC的解析式為y=x﹣4．

∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣3）2﹣，

∴拋物線的頂點G的坐標（3，﹣），

當x=3時，y=x﹣4=﹣，

∴F（3，﹣），

由菱形的對稱性可知，點E的坐標為（3，）．

∵GF=﹣﹣（﹣）=，GE=﹣（﹣）=，

∴＜n＜．

 

（3）∵C（0，﹣4）

∴由菱形的對稱性可知，點D的坐標為（0，4）．

設直線BD的解析式為y=kx+b，則，

解得k=﹣，b=4．

∴直線BD的解析式為y=﹣x+4．

∵l⊥x軸，

∴點M的坐標為（m，﹣m+4），點Q的坐標為（m，m2﹣m﹣4）．

如圖，當MQ=DC時，四邊形CQMD是平行四邊形，

∴（﹣m+4）﹣（ m2﹣m﹣4）=4﹣（﹣4）．

化簡得：m2﹣4m=0，

解得m1=0（不合題意舍去），m2=4．

∴當m=4時，四邊形CQMD是平行四邊形．

考點：1.待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；2.平行四邊形判定