Question

如圖，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，且DE=2CE，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，則OF的長為__________．

Answer 1

．

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)．

【專題】計算題；幾何圖形問題．

【分析】在BE上截取BG=CF，連接OG，證明△OBG≌△OCF，則OG=OF，∠BOG=∠COF，得出等腰直角三角形GOF，在RT△BCE中，根據(jù)射影定理求得GF的長，即可求得OF的長．

【解答】解：如圖，在BE上截取BG=CF，連接OG，

∵RT△BCE中，CF⊥BE，

∴∠EBC=∠ECF，

∵∠OBC=∠OCD=45°，

∴∠OBG=∠OCF，

在△OBG與△OCF中

∴△OBG≌△OCF（SAS）

∴OG=OF，∠BOG=∠COF，

∴OG⊥OF，

在RT△BCE中，BC=DC=6，DE=2EC，

∴EC=2，

∴BE===2，

∵BC²=BF•BE，

則6²=BF，解得：BF=，

∴EF=BE﹣BF=，

∵CF²=BF•EF，

∴CF=，

∴GF=BF﹣BG=BF﹣CF=，

在等腰直角△OGF中

OF²=GF²，

∴OF=．

故答案為：．

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的應(yīng)用．