【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),點(diǎn)D在CO的延長(zhǎng)線上,連接BD,已知BC=BD,AB=4,BC=2 .
(1)求證:BD是⊙O的切線;
(2)求CD的長(zhǎng).
【答案】
(1)證明:∵AB為圓O的直徑,
∴∠ACB=90°,
在Rt△ABC中,∵sinA= = = ,
∴∠A=60°,
∵AO=CO,
∴△AOC為等邊三角形,
∴∠AOC=∠ACO=60°,
∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACO=90°﹣60°=30°,
∵∠BOD=∠AOC=60°,
∴∠OBD=180°﹣(∠BOD+∠D)=90°,
∴OB⊥BD,
則BD為圓O的切線
(2)解:∵AB為圓O的直徑,且AB=4,
∴OB=OC=2,
∵BC=BD,
∴∠BCD=∠D,
∵OC=OB,
∴∠BCD=∠OBC,
∴∠D=∠OBC,
在△BCD和△OCB中,
∠D=∠OBC,∠BCD=∠OCB,
∴△BCD∽△OCB,
∴ = ,即 = ,
則CD=6
【解析】(1)由AB為圓的直徑,利用直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠ACB為直角,進(jìn)而得到三角形ABC為直角三角形,利用銳角三角函數(shù)定義求出sinA的值,利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠A的度數(shù)為60度,再由OA=OC,得到三角形AOC為等邊三角形,利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩個(gè)角為60度,進(jìn)而求出∠BCD為30度,利用三角形內(nèi)角和定理求出∠OBD為直角,即OB垂直于BD,即可得證;(2)由AB為直徑,求出半徑為2,由BC=BD,利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等,再由OC=OB得到一對(duì)角相等,等量代換得到∠D=∠OBC,再由一對(duì)公共角相等,得到三角形OCB與三角形BCD相似,由相似得比例,即可求出CD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小趙和小王交流暑假中的活動(dòng),小趙說(shuō):“我們一家外出旅行了一個(gè)星期,這7天的日期數(shù)之和是84天,你知道我們幾號(hào)出去的么?”小王說(shuō)“我暑假去舅舅家住了7天,日歷數(shù)再加月份數(shù)也是84,你能猜出我是幾月幾號(hào)回的家?試試看列出方程,解決小趙、小王的問(wèn)題.(提示:7月1日﹣9月1日暑假)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的周長(zhǎng)為40米,甲、乙兩人分別從A、B同時(shí)出發(fā),沿正方形的邊行走,甲按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娦?5米,乙按順時(shí)針?lè)较蛎糠昼娦?0米.
(1)出發(fā)后 分鐘時(shí),甲乙兩人第一次在正方形的頂點(diǎn)處相遇;
(2)如果用記號(hào)(a,b)表示兩人行了a分鐘,并相遇過(guò)b次,那么當(dāng)兩人出發(fā)后第一次處在正方形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)位置時(shí),對(duì)應(yīng)的記號(hào)應(yīng)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系xoy中,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A(-1,0),B(3,0),將線段AB向上平移2個(gè)單位,再向右平移1個(gè)單位,得到線段DC,點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、C,連接AD、BC.
(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)C,D的坐標(biāo);
(2)求四邊形ABCD的面積;
(3)點(diǎn)P為線段BC上任意一點(diǎn)(與點(diǎn)B、C不重合),連接PD,PO.求證:∠CDP+∠BOP=∠OPD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在湖邊高出水面50m的山頂A處看見(jiàn)一艘飛艇停留在湖面上空某處,觀察到飛艇底部標(biāo)志P處的仰角為45°,又觀其在湖中之像的俯角為60°,則飛艇底部P距離湖面的高度為(參考等式: = )( )
A.25 +75
B.50 +50
C.75 +75
D.50 +100
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)x1、x2是一元二次方程2x2﹣7x+5=0的兩根,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,求下列各式的值.
(1)x12x2+x1x22; (2)(x1﹣x2)2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ACDE是證明勾股定理時(shí)用到的一個(gè)圖形,a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED邊長(zhǎng),易知AE=c,這時(shí)我們把關(guān)于x的形如ax+cx+b=0的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”.
請(qǐng)解決下列問(wèn)題:
寫(xiě)出一個(gè)“勾系一元二次方程”;
求證:關(guān)于x的“勾系一元二次方程”ax+cx+b=0必有實(shí)數(shù)根;
若x=1是“勾系一元二次方程”ax+cx+b=0的一個(gè)根,且四邊形ACDE的周長(zhǎng)是,求△ABC面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】課題小組從某市20000名九年級(jí)男生中,隨機(jī)抽取了1000名進(jìn)行50米跑測(cè)試,并根據(jù)測(cè)試結(jié)果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.
等級(jí) | 人數(shù)/名 |
優(yōu)秀 | a |
良好 | b |
及格 | 150 |
不及格 | 50 |
解答下列問(wèn)題:
(1)a等于多少?,b等于多少?
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)試估計(jì)這20000名九年級(jí)男生中50米跑達(dá)到良好和優(yōu)秀等級(jí)的總?cè)藬?shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線AB,CD相交于點(diǎn)O,OA平分∠EOC.
(1)若∠EOC=80°,求∠BOD的度數(shù);
(2)若∠EOC=∠EOD,求∠BOD的度數(shù).
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