Question

一張矩形紙片ABCD，兩邊AB=2cm，AD=8cm．如圖，矩形紙條兩側(cè)分別沿EF，HG折疊，點(diǎn)A，B，C，D的落點(diǎn)分別為A′，B′，C′和D′，且GC′與A′E在同一條直線上．
（1）求證：GE=FG；
（2）若∠AEF=75°，試求△EFG的面積；
（3）若點(diǎn)A′和點(diǎn)C′重合，試求線段EG的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)就可以得出∠GEF=∠GFE就可以得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)E作EM⊥BC于M，就可以得出∠EGF=30°，由直角三角形的性質(zhì)就可以得出EG的值，再由三角形的面積公式就可以得出結(jié)論；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A′與C′重合時(shí)，設(shè)AE=A′E=x，GC=GC′=y，過E作EM⊥BC于M，在Rt△CMG中，由勾股定理就可以求出x+y的值而得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF=∠GFE．
∵四邊形ABFE與四邊形A′B′FE關(guān)于EF對(duì)稱，
∴四邊形ABFE≌四邊形A′B′FE，
∴∠AEF=∠GEF，
∴∠GEF=∠GFE，
∴GE=GF；
（2）過點(diǎn)E作EM⊥BC于M，
∴∠EMG=90°．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°．
∴四邊形ABME為矩形，
∴EM=AB=2．
∵∠AEF=75°，
∴∠GEF=75°，
∴∠DEG=30°．
∵AD∥BC，
∴∠DEG=∠BGE，
∴∠BGE=30°，
∴GE=2EM=4，
∴GF=4．
∴S_△EFG=

1

2

×4×2=4cm²；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A′與C′重合時(shí)，設(shè)AE=A′E=x，GC=GC′=y，過E作EM⊥BC于M，
∴∠EMG=90°．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°．
∴四邊形ABME為矩形，
∴EM=AB=2．AE=BM=x．
∴MG=8-x-y，EG=x+y．
在Rt△MGE中，由勾股定理，得
2²+（8-x-y）²=（x+y）²，
∴x+y=

17

4

．
即EG=

17

4

cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．