Question

如圖，C是線段AB上一點，△ACD和△BCE都是等邊三角形，AE交CD于點M，BD交CE于點N，交AE于點O，求證：
（1）∠AOB=120°；
（2）CM=CN；
（3）MN∥AB．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°，則可得到∠ACE=∠DCB，根據(jù)全等三角形的判定方法可得到△ACE≌△DCB，于是有∠CAM=∠CDN，由于∠ACD=DAC=∠BCE=∠CBE=60°，可得∠DCE=60°，則AD∥CE，DC∥BE，利用平行線的性質(zhì)得到∠DAM=∠AEC，∠NDC=∠EBO，得出∠EBO=∠CAM，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求得；
（2）根據(jù)全等三角形的判定方法可得到△ACM≌△DCN，則CM=CN；
（3）根據(jù)等邊三角形的判定方法即可得到△MCN為等邊三角形，得出∠MNC=∠ECB=60°，根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行得出MN∥AB．

解答：證明：（1）∵△ACD和△BCE都是等邊三角形，
∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，

AC=CD ∠ACE=∠DCB CE=CB

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAM=∠CDN，
∵∠ACD=DAC=∠BCE=∠CBE=60°，∠ACB是一個平角，
∴∠DCE=60°，
∴AD∥CE，DC∥BE，
∵AD∥CE，
∴∠DAM=∠AEC，
∵DC∥BE，
∴∠NDC=∠EBO，
∴∠EBO=∠CAM
∴∠AOB=∠OEB+∠EBO=∠AEC+∠CEB+∠EBO=∠DAE+∠CEB+∠CAM=∠DAC+∠CEB=60°+60°=120°；
（2）在△ACM和△DCN中，

∠CAE=∠CDN CA=CD ∠ACM=∠DCN

，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN；
（3）∵CM=CN，∠DCE=60°，
∴△MCN為等邊三角形，
∴∠MNC=60°，
∴∠MNC=∠ECB=60°，
∴MN∥AB．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．