Question

【題目】如圖，直線y=kx+b（k、b為常數(shù)）分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A（﹣4，0）、B（0，3），拋物線y=﹣x2+2x+1與y軸交于點(diǎn)C．
（Ⅰ）求直線y=kx+b的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）若點(diǎn)P（x，y）是拋物線y=﹣x2+2x+1上的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d，求d關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求d取最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅲ）若點(diǎn)E在拋物線y=﹣x2+2x+1的對稱軸上移動，點(diǎn)F在直線AB上移動，求CE+EF的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可得 ，解得 ，
∴直線解析式為y= x+3；
（Ⅱ）如圖1，過P作PH⊥AB于點(diǎn)H，過H作HQ⊥x軸，過P作PQ⊥y軸，兩垂線交于點(diǎn)Q，

則∠AHQ=∠ABO，且∠AHP=90°，
∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠PHQ=∠BAO，且∠AOB=∠PQH=90°，
∴△PQH∽△BOA，
∴ = = ，
設(shè)H（m， m+3），則PQ=x﹣m，HQ= m+3﹣（﹣x2+2x+1），
∵A（﹣4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=5，且PH=d，
∴ = = ，
整理消去m可得d= x2﹣x+ = （x﹣ ）2+ ，
∴d與x的函數(shù)關(guān)系式為d= （x﹣ ）2+ ，
∵ ＞0，
∴當(dāng)x= 時，d有最小值，此時y=﹣（ ）2+2× +1= ，
∴當(dāng)d取得最小值時P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）；
（Ⅲ）如圖2，設(shè)C點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為C′，由對稱的性質(zhì)可得CE=C′E，

∴CE+EF=C′E+EF，
∴當(dāng)F、E、C′三點(diǎn)一線且C′F與AB垂直時CE+EF最小，
∵C（0，1），
∴C′（2，1），
由（Ⅱ）可知當(dāng)x=2時，d= ×（2﹣ ）2+ = ，
即CE+EF的最小值為 ．
【解析】（Ⅰ）由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線解析式；
（Ⅱ）過P作PH⊥AB于點(diǎn)H，過H作HQ⊥x軸，過P作PQ⊥y軸，兩垂線交于點(diǎn)Q，則可證明△PHQ∽△BAO，設(shè)H（m， m+3），利用相似三角形的性質(zhì)可得到d與x的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得d取得最小值時的P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅲ）設(shè)C點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為C′，由對稱的性質(zhì)可得CE=C′E，則可知當(dāng)F、E、C′三點(diǎn)一線且C′F與AB垂直時CE+EF最小，由C點(diǎn)坐標(biāo)可確定出C′點(diǎn)的坐標(biāo)，利用（Ⅱ）中所求函數(shù)關(guān)系式可求得d的值，即可求得CE+EF的最小值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．