【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+x+2與x軸交于點(diǎn)A(4,0)與y軸交于點(diǎn)B.點(diǎn)M在線段AB上,其橫坐標(biāo)為m,PM∥y軸,與拋物線交點(diǎn)為點(diǎn)P,PQ∥x軸,與拋物線交點(diǎn)為點(diǎn)Q
(1)求a的值、并寫出此拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求m為何值時(shí),△PMQ為等腰直角三角形.
【答案】(1)a=﹣,y=﹣x2+x+2,頂點(diǎn)(1,);(2)m=6﹣2或2﹣2
【解析】
(1)將A(4,0)代入拋物線y=ax2+x+2求出a的值,然后將二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式,設(shè)P(m,﹣m2+m+2),M(m,m+2),從而求出PM,分兩種情況討論當(dāng)0<m≤1時(shí)和當(dāng)1<m<4時(shí),分別利用二次函數(shù)的對(duì)稱性用含m的式子表示出PQ,然后利用PM=PQ列方程即可求出m的值.
解:(1)∵拋物線y=ax2+x+2與x軸交于點(diǎn)A(4,0),
∴16a+×4+2=0,
解得a=﹣,
∴此拋物線解析式y=﹣x2+x+2,
化為頂點(diǎn)式y=﹣(x-1)2+
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,).
(2)∵y=﹣x2+x+2,
∴B(0,2),
∵A(4,0),
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b
將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入,得
解得:
∴直線AB:y=x+2,
設(shè)P(m,﹣m2+m+2),M(m,m+2),
∴PM=,
∵PM∥y軸,PQ∥x軸
∴PM⊥PQ
當(dāng)0<m≤1時(shí),PQ=2﹣2m,
∴=2﹣2m,
解得m=6﹣2或6+2(不符合題意舍去);
當(dāng)1<m<4時(shí),PQ=﹣2+2m,
∴=﹣2+2m,
解得m=2﹣2或﹣2﹣2(不符合題意舍去).
綜上,m為6﹣2或2﹣2時(shí),△PMQ為等腰直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0)、點(diǎn)B(3,0)、點(diǎn)C(4,y1),若點(diǎn)D(x2,y2)是拋物線上任意一點(diǎn),有下列結(jié)論:
①二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最小值為﹣4a;
②若﹣1≤x2≤4,則0≤y2≤5a;
③若y2>y1,則x2>4;
④一元二次方程cx2+bx+a=0的兩個(gè)根為﹣1和
其中正確結(jié)論的是_____(填序號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小翔在如圖1所示的場(chǎng)地上勻速跑步,他從點(diǎn)A出發(fā),沿箭頭所示方向經(jīng)過點(diǎn)B跑到點(diǎn)C,共用時(shí)30秒.他的教練選擇了一個(gè)固定的位置觀察小翔的跑步過程.設(shè)小翔跑步的時(shí)間為t(單位:秒),他與教練的距離為y(單位:米),表示y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示,則這個(gè)固定位置可能是圖1中的( )
A. 點(diǎn)M B. 點(diǎn)N C. 點(diǎn)P D. 點(diǎn)Q
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解學(xué)生每天的睡眠情況,某初中學(xué)校從全校 800 名學(xué)生中隨機(jī)抽取了 40 名學(xué)生,調(diào)查了他們平均每天的睡眠時(shí)間(單位: h) ,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:
9,8,10.5,7,9,8,10,9.5,8,9,9.5,7.5,9.5,9,8.5,7.5,10,9.5,8,9,
7,9.5,8.5,9,7,9,9,7.5,8.5,8.5,9,8,7.5,9.5,10,9.5,8.5,9,8,9.
在對(duì)這些數(shù)據(jù)整理后,繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖表:
睡眠時(shí)間分組統(tǒng)計(jì)表 睡眠時(shí)間分布情況
組別 | 睡眠時(shí)間分組 | 人數(shù)(頻數(shù)) |
1 | 7≤t<8 | m |
2 | 8≤t<9 | 11 |
3 | 9≤t<10 | n |
4 | 10≤t<11 | 4 |
請(qǐng)根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1) m = , n = , a = , b = ;
(2)抽取的這 40 名學(xué)生平均每天睡眠時(shí)間的中位數(shù)落在 組(填組別) ;
(3)如果按照學(xué)校要求,學(xué)生平均每天的睡眠時(shí)間應(yīng)不少于 9 h,請(qǐng)估計(jì)該校學(xué)生中睡眠時(shí)間符合要求的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)B在函數(shù)y=x圖象上,點(diǎn)A在x軸的正半軸上,等腰直角三角形BCD的頂點(diǎn)C在AB上,點(diǎn)D在函數(shù)y=第一象限的圖象上若△OAB與△BCD面積的差為2,則k的值為( 。
A.8B.4C.2D.1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將Rt△ABC平移到△A'B'C'的位置,其中∠C=90°使得點(diǎn)C'與△ABC的內(nèi)心重合,已知AC=4,BC=3,則陰影部分的面積為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市水費(fèi)采用階梯收費(fèi)制度,即:每月用水不超過15噸時(shí),每噸需繳納水費(fèi)a元,每月用水量超過15噸時(shí),超過15噸的部分按每噸提高b元繳納下表是嘉琪家一至四月份用水量和繳納水費(fèi)情況.根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù),回答:
月份 | 一 | 二 | 三 | 四 |
月用水量(噸) | 14 | 18 | 16 | 13 |
水費(fèi)(元) | 42 | 60 | 50 | 39 |
(1)a= 元;b= 元;
(2)求月繳納水費(fèi)p(元)與月用水量t(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)若嘉琪家五月和六月的月繳水費(fèi)相差24元,求這兩月用水量差的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是二次函數(shù)圖象的一部分,在下列結(jié)論中:①;②;③有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;④;其中正確的結(jié)論有( 。
A.1個(gè)B.2 個(gè)C.3 個(gè)D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與探究
問題情境:
(1)如圖1,兩塊等腰直角三角板△ABC和△ECD如圖所示擺放,其中∠ACB=∠DCE=90°,點(diǎn)F,H,G分別是線段DE,AE,BD的中點(diǎn),A,C,D和B,C,E分別共線,則FH和FG的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 .
合作探究:
(2)如圖2,若將圖1中的△DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至A,C,E在一條直線上,其余條件不變,那么(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)證明,若不成立,請(qǐng)說明理由.
(3)如圖3,若將圖1中的△DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角,那么(1)中的結(jié)論是否還成立?若成立,請(qǐng)證明,若不成立,請(qǐng)說明理由.
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