Question

8．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，OE平分∠ACD，分別交AD，BD于E，EF∥AC交CD于F，連接OE．下列結論：
①EF=AE，②∠AOE=∠AEO，③OG=$\frac{1}{2}$AE，④AB=（$\sqrt{2}$+1）DG；
其中正確的是（　�。�

• A． ②③④
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①正確．只要證明EF=CF，CF=AE即可．
②錯誤．只要說明EF≠OA即可．
③正確．作CA的垂線MA和CE的延長線交于M點，只要證明OG=$\frac{1}{2}$AM，AM=AE即可．
④正確．設GO=x，想辦法用x表示DG、AB即可解決問題．

解答 解：∵CE平分∠ACD，EF∥AC，
∴∠FCE=∠ACE，∠ACE=∠FEC，
∴∠FCE=∠FEC，
∴△CFE是等腰三角形，
∴CF=EF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DCA=∠DAC=45°，
∴∠DFE=∠DCA，∠FED=∠DAC，
∴∠DFE=∠DEF=45°，
∴DF=DE∵DC=DA，
∴CF=AE，
∴EF=AE．（故①正確）．
∵EF≠AO，
∴AE≠AO．（故②錯誤）．

作CA的垂線MA和CE的延長線交于M點，
∵GO=$\frac{1}{2}$MA，
∵CM為∠ACD的平分線，
∴∠DCE=∠ACM，又∠CDE=∠CAM=90°，
∴∠CED=∠M，又∠CED=∠AEM，
∴∠AEM=∠M，
∴MA=AE，
∴GO=$\frac{1}{2}$AE，（故③正確）．

設GO=x，
∵GO=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$EF，
∴EF=AE=2x，
∴DN=NE=$\frac{1}{2}$EF=x，
∴DE=$\sqrt{2}$x，
∵EF∥AC，
∴$\frac{EF}{AC}$=$\frac{DE}{AD}$，
∴AC=2（ $\sqrt{2}$+1）x，
∴OD=OA=（ $\sqrt{2}$+1）x，
∴DG=DO-OG=$\sqrt{2}$x，
∵AB=DA=DE+AE=$\sqrt{2}$x+2x，
∴AB=（ $\sqrt{2}$+1）DG．（故④正確）．
故正確的為①③④．
故選C．

點評 本題考查了正方形的性質，平行線的性質以及勾股定理的知識點，解題關鍵是靈活應用這些知識解決問題，學會添加常用輔助線，屬于中考�？碱}型．