Question

用一根長度為100cm的細繩圍成一個矩形．
（1）當矩形的面積為525cm²時，求矩形的長和寬；
（2）能圍成面積為639cm²的矩形嗎？若能，求出矩形的長和寬，若不能，說明理由；
（3）能用它圍成的矩形面積的最大值是多少？

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用,一元二次方程的應(yīng)用

專題：幾何圖形問題

分析：（1）設(shè)矩形的長為xcm，則寬為：（50-x）cm，利用長乘寬=矩形面積，進而求出即可；
（2）設(shè)矩形的長為xcm，則寬為：（50-x）cm，利用長乘寬=矩形面積，結(jié)合△的符號進而求出即可；
（3）利用二次函數(shù)最值求法進而求出即可．

解答：解：（1）設(shè)矩形的長為xcm，則寬為：（50-x）cm，根據(jù)題意得出：
x（50-x）=525，
解得：x₁=15，x₂=35．
答：矩形的長為35cm，寬為15cm；

（2）不能圍成面積為639cm²的矩形．
理由：設(shè)矩形的長為xcm，則寬為：（50-x）cm，根據(jù)題意得出：
x（50-x）=639，
整理得出：x²-50x+639=0
∵b²-4ac=2500-4×1×639=-56＜0，
∴此方程無實數(shù)根，
故不能圍成面積為639cm²的矩形；

（3）設(shè)圍成的矩形面積為：y，根據(jù)題意得出：
y=x（50-x）=-x²+50x=-（x²-50x）=-（x-25）²+625，
故能用它圍成的矩形面積的最大值是：625cm²．

點評：此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式和二次函數(shù)最值求法，得出矩形面積與長乘寬的關(guān)系是解題關(guān)鍵．