Question

【題目】如圖1，已知拋物線；C1：y＝﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）與x軸交于點(diǎn)B、C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)E．

（1）求點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)△BCE的面積為6時(shí)，若點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，b），在拋物線C1的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)H，使得△BGH的周長(zhǎng)最小，若存在，則求點(diǎn)H的坐標(biāo)（用含b的式子表示）；若不存在，則請(qǐng)說明理由；

（3）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：（﹣2，0）、（m，0）；（2）存在，點(diǎn)H（1，b）；（3）存在，m＝2

【解析】

（1） ，令y＝0，則x＝﹣2或m，即可求解；

（2）點(diǎn)B關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C（m，0），連接CE交對(duì)稱軸于點(diǎn)H，則點(diǎn)H為所求，即可求解；

（3）分△BEC∽△BCF、△BEC∽△FCB兩種情況，分別求解即可．

解：（1），令y＝0，則x＝﹣2或m，

故點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：（﹣2，0）、（m，0）；

（2）存在，理由：

，令x＝0，則y＝2，故點(diǎn)E（0，2），

△BCE的面積為： ，解得：m＝4，

則拋物線的對(duì)稱軸為： ，

點(diǎn)B關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C（m，0），連接CE交對(duì)稱軸于點(diǎn)H，則點(diǎn)H為所求，

將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線CE的表達(dá)式為： ，當(dāng)x＝1時(shí), ，

故點(diǎn)H（1，b）；

（3）∵OE＝OB＝2，故∠EBO＝45°，

過點(diǎn)F作FT⊥x軸于點(diǎn)F；

①當(dāng)△BEC∽△BCF時(shí)，

則BC2＝BEBF，∠FBO＝EBO＝45°，

則直線BF的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x﹣2，故點(diǎn)F（x，﹣x﹣2）；

將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：

解得：x＝﹣2（舍去）或2m，

故點(diǎn)F（2m，﹣2m﹣2），

則

∵BC2＝BEBF，

則 解得： （舍去負(fù)值），

故

②當(dāng)△BEC∽△FCB時(shí)，

則BC2＝BFEC，∠CBF＝∠ECO，

則△BFT∽△COE，

則 ，則點(diǎn)

將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：

解得：x＝﹣2（舍去）或m+2；

則點(diǎn)

BC2＝BFEC，則

化簡(jiǎn)得：m3+4m2+4m＝m3+4m2+4m+16，

此方程無解；

綜上，m＝2．