如圖,拋物線y=ax2+bx-
5
2
過點(diǎn)A(-1,0)、B(5,0).直線y=-x-1交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M,點(diǎn)P為線段AM上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PQ∥y軸交拋物線于點(diǎn)Q,過點(diǎn)P作PN∥QM交拋物線的對稱軸于點(diǎn)N,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
(1)求a、b的值.
(2)用含m的代數(shù)式表示PQ的長并求PQ的最大值.
(3)直接寫出PQ隨m的增大而減小時(shí)m的取值范圍.
(4)當(dāng)四邊形PQMN是正方形時(shí),求出m的值.
考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題
專題:
分析:(1)把點(diǎn)A和B的坐標(biāo)代入拋物線解析式,計(jì)算即可求出a、b的值;
(2)根據(jù)已知條件可設(shè)P的坐標(biāo)為(m,-m-1),(-1≤m≤2),因?yàn)镻Q∥y軸,所以點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為m,又因?yàn)镼在拋物線上,所以Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,
1
2
m2-2m-
5
2
),所以
PQ=-m-1-(
1
2
m2-2m-
5
2
)=-
1
2
m2+m+
3
2
=-
1
2
(m-1)2+2,利用函數(shù)的性質(zhì)即可求出PQ的最大值;
(3)根據(jù)線段PQ的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式解析式,利用二次函數(shù)的增減性解答即可;
(4)設(shè)MN于x軸的 交點(diǎn)為G,則G的坐標(biāo)為(2,0),首先證明四邊形PQMN是平行四邊形,當(dāng)PN⊥MN,四邊形PQMN是矩形,又因?yàn)椤螧AM=45°,所以四邊形PQMN是正方形,再求出Q的縱坐標(biāo)為-3,即
1
2
m2-2m-
5
2
=-3,解方程即可求出符合題意的m值.
解答:解:(1)把A(-1,0),B(5,0)代入y=ax2+bx-
5
2
中,得
0=(-1)2a+(-1)b-
5
2
0=25a+5b-
5
2
,
解得:
a=
1
2
b=-2
,
∴a=
1
2
,b=-2;

(2)由(1)可知a=
1
2
,b=-2,
∴拋物線的解析式為y=
1
2
x2-2x-
5
2
,
∴拋物線的對稱軸為x=2,
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,
∴P的坐標(biāo)為(m,-m-1),(-1≤m≤2),
∵PQ∥y軸,
∴點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為m,
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,
1
2
m2-2m-
5
2
),
∴PQ=-m-1-(
1
2
m2-2m-
5
2
)=-
1
2
m2+m+
3
2
=-
1
2
(m-1)2+2,
∴當(dāng)m=1時(shí),PQ的最大值為2;

(3)由(2)可知PQ=-m-1-(
1
2
m2-2m-
5
2
)=-
1
2
m2+m+
3
2
=-
1
2
(m-1)2+2,
∴PQ隨m的增大而減小時(shí)m的取值范圍是1≤m≤2;
(4)設(shè)MN于x軸的 交點(diǎn)為G,則G的坐標(biāo)為(2,0),
∵M(jìn)(2,-3),
∴MG=3,AG=3,
∴MG=AG,
∴∠BAM=∠AMG=45°,
∵PQ∥y軸,MN是對稱軸,
∴PQ∥MN,
有∵PN∥QM,
∴四邊形PQMN是平行四邊形,
當(dāng)PN⊥MN,四邊形PQMN是矩形,又∵∠BAM=45°,
∴四邊形PQMN是正方形,
∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)是-3,即
1
2
m2-2m-
5
2
=-3,
解得:m1=2-
3
,m2=2+
3
(不合題意舍去),
∴m的值是2-
3
點(diǎn)評:本題考查了二次函數(shù)的綜合題型,主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì),二次函數(shù)的最值問題,二次函數(shù)的增減性,綜合性較強(qiáng),但難度不大,把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出b、c的值是解題的關(guān)鍵,也是本題的突破口.
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7
20
,是紅球的概率是
13
50
,那么白球的個(gè)數(shù)是(  )
A、350B、260
C、390D、510

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m
x
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(3)如圖3,直線y=-x+2分別與x軸、y軸交于C、D兩點(diǎn),Q為反比例函數(shù)y=
m
x
(x>0)圖象上一動點(diǎn),過Q點(diǎn)作QG⊥x軸于G點(diǎn),QH⊥y軸于H點(diǎn),與直線CD分別交于E、F兩點(diǎn),連接OE、OF,當(dāng)Q點(diǎn)移動時(shí),∠EOF的值是否變化?若改變,求出其變化范圍;若不變,試求其度數(shù).

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