Question

證明：等邊三角形內(nèi)心與外心重合，并且外接圓半徑是內(nèi)切圓半徑的2倍．

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,等邊三角形的性質(zhì),三角形的外接圓與外心

專題：證明題

分析：先寫出已知：△ABC為等邊三角形，點O為內(nèi)心；求證：點O為△ABC的外心，外接圓半徑是內(nèi)切圓半徑的2倍，再進行證明：連結(jié)AO并延長交BC于D，連結(jié)BO并延長交AC于E，如圖，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AD垂直平分BC，BE垂直平分AC，于是根據(jù)三角形外心的定義即可得到點O為△ABC的外心；易得OD為△ABC內(nèi)切圓的半徑，OB為外接圓半徑，利用OB平分∠ABC，∠ABC=60°得到∠OBD=30°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OB=2OD．

解答：已知：△ABC為等邊三角形，點O為內(nèi)心．
求證：點O為△ABC的外心，外接圓半徑是內(nèi)切圓半徑的2倍．
證明：連結(jié)AO并延長交BC于D，連結(jié)BO并延長交AC于E，如圖，
∵點O為△ABC的內(nèi)心，
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
而△ABC為等邊三角形，
∴AD⊥BC，BD=CD，BE⊥AC，AE=CE，
即AD垂直平分BC，BE垂直平分AC，
∴點O為△ABC的外心；
∵OD⊥BC，
∴OD為△ABC內(nèi)切圓的半徑，
∵OB平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠OBD=30°，
∴OD=

1

2

OB，
∴△ABC外接圓半徑OB是內(nèi)切圓半徑OD的2倍，
所以等邊三角形內(nèi)心與外心重合，并且外接圓半徑是內(nèi)切圓半徑的2倍．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．