Question

已知拋物線C₁：y=2ax²-bx-1經(jīng)過（1，-2）和（3，2）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線C₁的解析式；
（2）將拋物線C₁沿直線y=-1翻折，再將翻折后的拋物線，先向上平移2個(gè)單位，再向右平移m個(gè)單位，得到拋物線C₂．若C₂的頂點(diǎn)B在拋物線C₁上，求m的值；
（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線C₁的頂點(diǎn)為A，E為拋物線C₁上的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C₂上的一點(diǎn)，則以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形是否存在？若存在，有多少個(gè)？說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,解二元一次方程組,解一元二次方程-直接開平方法,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,平行四邊形的判定,中心對(duì)稱

專題：綜合題

分析：（1）用待定系數(shù)法就可求出拋物線C₁的解析式．
（2）先求出拋物線C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），然后根據(jù)條件得到拋物線C₂的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1+m，2），把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線C₁的解析式就可求出m的值．
（3）由于拋物線C₁與拋物線C₂的現(xiàn)狀相同，開口相反，且拋物線C₁的頂點(diǎn)A與拋物線C₂的頂點(diǎn)B關(guān)于AB的中點(diǎn)C成中心對(duì)稱，因此拋物線C₁與拋物線C₂也關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱．所以在拋物線C₁上任取一點(diǎn)E（A、B除外），連接EC并延長(zhǎng)交拋物線C₂于點(diǎn)F，必有EC=FC，連接AE、EF、BF、BE，四邊形EAFB一定是平行四邊形，所以以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形有無數(shù)個(gè)．

解答：解：（1）∵拋物線C₁：y=2ax²-bx-1經(jīng)過（1，-2）和（3，2）兩點(diǎn)，
∴

2a-b-1=-2 18a-3b-1=2

．
解得：

a= 1 2 b=2

．
∴拋物線C₁的解析式為y=x²-2x-1．

（2）∵拋物線C₁的解析式為y=x²-2x-1=（x-1）²-2，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2）．
∵點(diǎn)（1，-2）關(guān)于直線y=-1對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1+m，2）．
∵B在拋物線C₁上，
∴（1+m-1）²-2=2．
解得：m₁=2，m₂=-2（舍去）．
∴m的值為2．

（3）以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形存在．
由題可知：A（1，-2）、B（3，2），拋物線C₂的解析式為y=-（x-3）²+2．
則線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

1+3

2

，

-2+2

2

），即（2，0）．
當(dāng)x=1時(shí)，y=-（1-3）²+2=-2，所以點(diǎn)A（1，-2）在拋物線C₂上．
所以拋物線C₁與拋物線C₂關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱．
在拋物線C₁上任取一點(diǎn)E（A、B除外），連接EC并延長(zhǎng)交拋物線C₂于點(diǎn)F，
連接AE、EF、BF、BE，如圖所示，必有EC=FC．
∵EC=FC，AC=BC，
∴四邊形EAFB是平行四邊形．
∴以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形有無數(shù)個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、中心對(duì)稱、平行四邊形的判定、解二元一次方程組、直接開平方法解一元二次方程等知識(shí)，而利用中心對(duì)稱是解決第三小題的關(guān)鍵，有創(chuàng)意，是一道好題．