【題目】如圖,在平行四邊形中,,,點(diǎn)是的中點(diǎn),連接,過作于,交于點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn),連接,過點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于.
(1)若,的長(zhǎng);
(2)求證:.
【答案】(1)DP=;(2)見解析.
【解析】
(1)過P作PM⊥BD于M,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得PM=PF,證明Rt△BFP≌R△BMP(HL),得BM=BF=,求出DM=,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論;
(2)連接AP,構(gòu)建全等三角形,先證明△ADF≌△PBF(ASA),得PF=AF,再證明△APG≌△BHG(ASA),得BH=AP,求出∠ADP=∠DAP=22.5°得AP=DP,從而得結(jié)論.
解:(1)如圖,過P作PM⊥BD于M,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴CD=AB=BD=4,
∵E是AD的中點(diǎn),
∴∠DBE=∠ABE,
∵PF⊥AB,PM⊥BD,
∴PF=PM,
∵∠ABD=45°,
∴△BDF是等腰直角三角形,
∴DF=BF=,∠BDF=45°,
∴DM=PM,PD=DM,
在Rt△BFP和Rt△BMP中,
∵PF=PM,BP=BP,
∴Rt△BFP≌Rt△BMP(HL),
∴BM=BF=,
∴DM=,
∴DP=DM=;
(2)連接AP,
∵∠DEP=∠PFB=90°,∠EPD=∠FPB,
∴∠EDP=∠FBP,
又∵DF=BF,∠AFD=∠BFP=90°,
∴△ADF≌△PBF(ASA),
∴PF=AF,
∴∠PAF=45°,
∵BD⊥BH,
∴∠DBH=90°,
∵∠DBF=45°,
∴∠HBG=90°45°=45°,
∴∠PAF=∠HBG,
又∵AG=BG,∠PGA=∠HGB,
∴△APG≌△BHG(ASA),
∴BH=AP,
∵AB=BD,∠ABD=45°,
∴∠DAB=∠ADB=67.5°,
∴∠ADP=∠DAP=22.5°,
∴AP=DP,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與軸交于、兩點(diǎn)(在的左側(cè)),與軸交于點(diǎn),過點(diǎn)的直線:與軸交于點(diǎn),與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為,己知,,點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與、重合).
(1)直接寫出拋物線和直線的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)在直線上方的拋物線上時(shí),連接、,
①當(dāng)的面積最大時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)是________;
②當(dāng)平分時(shí),求線段的長(zhǎng).
(3)設(shè)為直線上的點(diǎn),探究是否存在點(diǎn),使得以點(diǎn)、,、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn),,,動(dòng)點(diǎn)在線段上,點(diǎn)、、按逆時(shí)針順序排列,且,,當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí),則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在四邊形ABCD中∠A=∠ABC=90°,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),△ABD與 △EBD關(guān)于直線BD對(duì)稱,,.
(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)E之間的距離;
(2)聯(lián)結(jié)AC交BE于點(diǎn)F,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小杰早上從家勻速步行去學(xué)校,走到途中發(fā)現(xiàn)英語(yǔ)書忘在家里了,隨即打電話給爸爸,爸爸立即送英語(yǔ)書去,小杰掉頭以原速往回走,幾分鐘后,路過一家文具店,此時(shí)還未遇到爸爸,小杰便在文具店購(gòu)買了幾個(gè)筆記本,剛付完款,爸爸剛好趕到,將英語(yǔ)書交給了小杰(途中小杰打電話、小杰的爸爸找英語(yǔ)書的時(shí)間忽略不計(jì)):然后,爸爸原速返回,同時(shí)小杰把速度提高到原來的前往學(xué)校,爸爸到家后,過一會(huì)小杰才到達(dá)學(xué)校.兩人之間的距離(米)與小杰從家出發(fā)的時(shí)間(分鐘)的函數(shù)關(guān)系如圖所示,則家與學(xué)校相距______米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形紙片中,,,點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將沿所在直線翻折,得到,連接,,則當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí),的長(zhǎng)是___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將矩形ABCD的四個(gè)角向內(nèi)折起,恰好拼成一個(gè)無縫隙無重疊的四邊形EFGH,EH=12厘米,EF=16厘米,則邊AD的長(zhǎng)是( 。
A. 12厘米 B. 16厘米 C. 20厘米 D. 28厘米
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=45°,AB=4cm,將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△A′BC′,則陰影部分的面積為 ___________cm2 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△MCN,點(diǎn)D、E分別為AB、MN的中點(diǎn),若點(diǎn)E剛好落在邊BC上,則sin∠DEC=__.
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