Question

【題目】如圖，已知在四邊形ABCD中∠A=∠ABC=90°，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，△ABD與 △EBD關(guān)于直線BD對(duì)稱(chēng)，，．

（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)E之間的距離；

（2）聯(lián)結(jié)AC交BE于點(diǎn)F，求的值．

Answer 1

【答案】（1） AE= ；（2）

【解析】

（1）連接AE交BD于H，根據(jù)△ABD與 △EBD關(guān)于直線BD對(duì)稱(chēng)， 得AE⊥BD，AH=HE，利用勾股定理求出BD=2，利用求出即可得到答案；

（2）根據(jù)∠A=90°，， BD=2求出∠ABD=30°，由△ABD與 △EBD關(guān)于直線BD對(duì)稱(chēng)，得到∠BED=∠A=90°，DE=AD=1，∠DBE=∠ABD=30°，由點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，求出BC=BD=2，∠CBE=∠DBE=30°，求出∠M =30°，AM=3，利用AM∥BC，，即可求出.

（1）連接AE交BD于H，

∵△ABD與 △EBD關(guān)于直線BD對(duì)稱(chēng)，

∴AE⊥BD，AH=HE，

∵∠A=90°，，，

∴BD=2，

∵,

∴，

∴，

∴AE=；

（2）延長(zhǎng)AD、BE交于點(diǎn)M，∵∠A=90°，， BD=2，

∴sin∠ABD=，

∴∠ABD=30°，

∵△ABD與 △EBD關(guān)于直線BD對(duì)稱(chēng)，

∴∠BED=∠A=90°，DE=AD=1，∠DBE=∠ABD=30°，

∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，

∴BE垂直平分CD，

∴BC=BD=2，

∴∠CBE=∠DBE=30°，

∵∠A=∠ABC=90°，

∴AD∥BC，

∴∠M=∠CBE=30°，

∴AM=，

∵AM∥BC，

∴，

∴.