Question

如圖，等邊△OAB和等邊△AFE的一邊都在x軸上，雙曲線y=

k

x

（k＞0）經(jīng)過邊OB的中點C和AE的中點D，已知等邊△OAB的邊長為4．
（1）求該雙曲線所表示的函數(shù)解析式；
（2）求等邊△AEF的邊長．
（3）若y軸上有點P，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點Q，使以O(shè)，B，P，Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點Q坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）過點C作CG⊥OA于點G，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值求出CG的長，進而得出C點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法得出雙曲線的解析式即可；
（2）過點D作DH⊥AF于點H，設(shè)AH=a，則DH=

3

a，同（1）可得出D點坐標(biāo)，求出a的值，由此得出AD的長，進而可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)OB為邊長或?qū)�角線兩種情況畫出圖形，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出Q點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）過點C作CG⊥OA于點G，
∵點C是等邊△OAB的邊OB的中點，
∴OC=2，∠AOB=60°．
∴OC=2，CG=

3

，
∴點C的坐標(biāo)是（1，

3

），由

3

=

k

1

，得k=

3

．
∴該雙曲線所表示的函數(shù)解析式為y=

3

x

．

（2）過點D作DH⊥AF于點H，設(shè)AH=a，則DH=

3

a．
∴點D的坐標(biāo)為（4+a，

3

a）．
∵點D是雙曲線y=

3

x

上的點，由xy=

3

，得

3

a（4+a）=

3

，即a²+4a-1=0．
解得a₁=

5

-2，a₂=-

5

-2（舍去），
∴AD=2AH=2

5

-4，
∴等邊△AEF的邊長是（4

5

-8）．

（3）如圖所示，
∵△OAB是等邊三角形，O=4，
∴B（2，2

3

）．
當(dāng)點Q在Q₁處時，
∵OB=4，
∴BQ1=4，
∴Q（2，2

3

+4）；
當(dāng)點Q在Q₂處時，可知Q₂（2，2

3

-4）；
當(dāng)點Q在Q₃處時，點Q于點B關(guān)于y軸對稱，Q₃（-2，2

3

）；
當(dāng)點Q在Q₄處時，
∵B（2，2

3

），
∴直線OB的解析式為y=

3

x．
∵四邊形OQBP是菱形，
∴PQ是OB的垂直平分線且過點C，
∴設(shè)直線PQ的解析式為y=-

3

3

x+b，
∵C（1，

3

），
∴

3

=-

3

3

+b，
解得b=

4 3

3

，
∴設(shè)直線PQ的解析式為y=-

3

3

x+

4 3

3

，
∴當(dāng)x=2時，y=

2 3

3

，即Q₄（2，

2 3

3

）．
故Q點的坐標(biāo)為：（-2，2

3

），（2，2

3

+4），（2，

2 3

3

），（2，2

3

-4）．

點評：本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，熟知等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義及反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點是解答此題的關(guān)鍵．