【題目】如圖1,拋物線C:y=x2經(jīng)過變化可得到拋物線C1:y1=a1x(x﹣b1),C1與x軸的正半軸交與點(diǎn)A1 , 且其對稱軸分別交拋物線C,C1于點(diǎn)B1 , D1 , 此時四邊形OB1A1D1恰為正方形;按上述類似方法,如圖2,拋物線C1:y1=a1x(x﹣b1)經(jīng)過變換可得到拋物線C2:y2=a2x(x﹣b2),C2與x軸的正半軸交與點(diǎn)A2 , 且其對稱軸分別交拋物線C1 , C2于點(diǎn)B2 , D2 , 此時四邊形OB2A2D2也恰為正方形;按上述類似方法,如圖3,可得到拋物線C3:y3=a3x(x﹣b3)與正方形OB3A3D3 . 請?zhí)骄恳韵聠栴}:
(1)填空:a1= , b1=;
(2)求出C2與C3的解析式;
(3)按上述類似方法,可得到拋物線Cn:yn=anx(x﹣bn)與正方形OBnAnDn(n≥1).
①請用含n的代數(shù)式直接表示出Cn的解析式;
②當(dāng)x取任意不為0的實(shí)數(shù)時,試比較y2015與y2016的函數(shù)值的大小并說明理由.
【答案】
(1)1;2
(2)
解:y2=0時,a2x(x﹣b2)=0,
x1=0,x2=b2,
∴A2(b2,0),
由正方形OB2A2D2得:OA2=B2D2=b2,
∴B2( , ),
∵B2在拋物線c1上,則 =( )2﹣2× ,
b2(b2﹣6)=0,
b2=0(不符合題意),b2=6,
∴D2(3,﹣3),
把D2(3,﹣3)代入C2的解析式:﹣3=3a2(3﹣6),a2= ,
∴C2的解析式:y2= x(x﹣6)= x2﹣2x,
y3=0時,a3x(x﹣b3)=0,
x1=0,x2=b3,
∴A3(b3,0),
由正方形OB3A3D3得:OA3=B3D3=b3,
∴B3( , ),
∵B3在拋物線C2上,則 = ( )2﹣2× ,
b3(b3﹣18)=0,
b3=0(不符合題意),b3=18,
∴D3(9,﹣9),
把D3(9,﹣9)代入C3的解析式:﹣9=9a3(9﹣18),a3= ,
∴C3的解析式:y3= x(x﹣18)= ﹣2x;
(3)
解:①Cn的解析式:yn= x2﹣2x(n≥1).
②由上題可得拋物線C2015的解析式為:y2015= x2﹣2x,
拋物線C2016的解析式為:y2016= x2﹣2x,
∴兩拋物線的交點(diǎn)為(0,0);
∴當(dāng)x<0時,y2015<y2016;當(dāng)x>0時,y2015>y2016.
【解析】解:(1)y1=0時,a1x(x﹣b1)=0,
x1=0,x2=b1 ,
∴A1(b1 , 0),
由正方形OB1A1D1得:OA1=B1D1=b1 ,
∴B1( , ),D1( ,﹣ ),
∵B1在拋物線c上,則 = ,
b1(b1﹣2)=0,
b1=0(不符合題意),b1=2,
∴D1(1,﹣1),
把D1(1,﹣1)代入y1=a1x(x﹣b1)中得:﹣1=﹣a1 ,
∴a1=1,
故答案為:1,2;
(1)求與x軸交點(diǎn)A1坐標(biāo),根據(jù)正方形對角線性質(zhì)表示出B1的坐標(biāo),代入對應(yīng)的解析式即可求出對應(yīng)的b1的值,寫出D1的坐標(biāo),代入y1的解析式中可求得a1的值;(2)求與x軸交點(diǎn)A2坐標(biāo),根據(jù)正方形對角線性質(zhì)表示出B2的坐標(biāo),代入對應(yīng)的解析式即可求出對應(yīng)的b2的值,寫出D2的坐標(biāo),代入y2的解析式中可求得a2的值,寫出拋物線C2的解析式;再利用相同的方法求拋物線C3的解析式;(3)①根據(jù)圖形變換后二次項系數(shù)不變得出an=a1=1,由B1坐標(biāo)(1,1)、B2坐標(biāo)(3,3)、B3坐標(biāo)(7,7)得Bn坐標(biāo)(2n﹣1,2n﹣1),則bn=2(2n﹣1)=2n+1﹣2(n≥1),寫出拋物線Cn解析式.②先求拋物線C2015和拋物線C2016的交點(diǎn)為(0,0),在交點(diǎn)的兩側(cè)觀察圖形得出y2015與y2016的函數(shù)值的大小.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn),AD和過點(diǎn)C的切線互相垂直,垂足為D,直線DC與AB的延長線相交于P.弦CE平分∠ACB,交直徑AB于點(diǎn)F,連結(jié)BE.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)探究線段PC,PF之間的大小關(guān)系,并加以證明;
(3)若tan∠PCB= ,BE= ,求PF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀以下兩小題后作出相應(yīng)的解答:
(1)“同位角相等,兩直線平行”,“兩直線平行,同位角相等”,這兩個命題的題設(shè)和結(jié)論在命題中的位置恰好對凋,我們把其中一命題叫做另一個命題的逆命題,請你寫出命題“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等“的逆命題,并指出逆命題的題設(shè)和結(jié)論;
(2)根據(jù)以下語句作出圖形,并寫出該命題的文字?jǐn)⑹?/span>.
已知:過直線AB上一點(diǎn)O任作射線OC,OM、ON分別平分∠AOC、∠BOC,則OM⊥ON.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c(b<c<a),BC的垂直平分線DG交∠BAC的角平分線AD于點(diǎn)D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,則下列結(jié)論一定成立的是( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)3.3,-2,0,,-3.5.
(1) 比較這些數(shù)的大小,并用“<”號連接起來;
(2) 比較這些數(shù)的絕對值的大小,并將這些數(shù)的絕對值用“>”號連接起來;
(3) 比較這些數(shù)的相反數(shù)的大小,并將這些數(shù)的相反數(shù)用“<”號連接起來.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,將△ABC沿著某一方向平移一定的距離得到△MNL,則下列結(jié)論中正確的有( )
①AM∥BN;②AM=BN;③BC=ML;④∠ACB=∠MNL。
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB、BC、AC三邊的長分別為, , ,求這個三角形的面積.小明同學(xué)在解答這道題時,先畫一個正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為1),再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC(即△ABC三個頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處),如圖1所示.這樣不需求△ABC的高,而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積.
(1)△ABC的面積為 .
(2)若△DEF的三邊DE、EF、DF長分別為, , ,請在圖2的正方形網(wǎng)格中畫出相應(yīng)的△DEF,并求出△DEF的面積為 .
(3)在△ABC中,AB=2,AC=4,BC=2,以AB為邊向△ABC外作△ABD(D與C在AB異側(cè)),使△ABD為等腰直角三角形,則線段CD的長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,OA=10,OC=8,如圖在OC邊上取一點(diǎn)D,將△BCD沿BD折疊,使點(diǎn)C恰好落在OA邊上,記作E點(diǎn);
(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo)及折痕DB的長;
(2)在x軸上取兩點(diǎn)M、N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)),且MN=4.5,求使四邊形BDMN的周長最短的點(diǎn)M、點(diǎn)N的坐標(biāo)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四邊形ABCD中,E是CD上的一點(diǎn)連接AE、BE,如圖給出四個條件:①AE平分∠BAD,②BE平分∠ABC,③AE⊥EB,④AB=AD+BC,請你以其中三個作為命題的條件,寫出一個能推出AD∥BC的正確命題,并加以證明.
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