【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C是⊙O上一點,AD和過點C的切線互相垂直,垂足為D,直線DC與AB的延長線相交于P.弦CE平分∠ACB,交直徑AB于點F,連結BE.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)探究線段PC,PF之間的大小關系,并加以證明;
(3)若tan∠PCB= ,BE= ,求PF的長.

【答案】
(1)解:連接OC.

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA.

∵PC是⊙O的切線,AD⊥CD,

∴∠OCP=∠D=90°,

∴OC∥AD.

∴∠CAD=∠OCA=∠OAC.即AC平分∠DAB.


(2)解:PC=PF.

證明:∵AB是直徑,

∴∠ACB=90°,

∴∠PCB+∠ACD=90°

又∵∠CAD+∠ACD=90°,

∴∠CAB=∠CAD=∠PCB.

又∵∠ACE=∠BCE,∠PFC=∠CAB+∠ACE,∠PCF=∠PCB+∠BCE.

∴∠PFC=∠PCF.

∴PC=PF.


(3)解:連接AE.

∵∠ACE=∠BCE,

= ,

∴AE=BE.

又∵AB是直徑,

∴∠AEB=90°.

AB= ,

∴OB=OC=5.

∵∠PCB=∠PAC,∠P=∠P,

∴△PCB∽△PAC.

∵tan∠PCB=tan∠CAB=

=

設PB=3x,則PC=4x,在Rt△POC中,(3x+5)2=(4x)2+52

解得x1=0,

∵x>0,∴ ,

∴PF=PC=


【解析】(1)連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)可得OC⊥CD,則AD∥OC,根據(jù)等邊對等角,以及平行線的性質(zhì)即可證得;(2)根據(jù)圓周角定理以及三角形的外角的性質(zhì)定理證明∠PFC=∠PCF,根據(jù)等角對等邊即可證得;(3)證明△PCB∽△PAC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得PB與PC的比值,在直角△POC中利用勾股定理即可列方程求解.

練習冊系列答案
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所以_____=90°________

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所以______=_____(等量代換)

所以______=90°

所以OC⊥OD.

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A.1個
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①請用含n的代數(shù)式直接表示出Cn的解析式;
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