【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c.
(Ⅰ)若拋物線的頂點為A(﹣2,﹣4),拋物線經(jīng)過點B(﹣4,0)
①求該拋物線的解析式;
②連接AB,把AB所在直線沿y軸向上平移,使它經(jīng)過原點O,得到直線l,點P是直線l上一動點.
設(shè)以點A,B,O,P為頂點的四邊形的面積為S,點P的橫坐標(biāo)為x,當(dāng)4+6≤S≤6+8時,求x的取值范圍;
(Ⅱ)若a>0,c>1,當(dāng)x=c時,y=0,當(dāng)0<x<c時,y>0,試比較ac與l的大小,并說明理由.
【答案】(Ⅰ)①y=x2+4x②當(dāng)4+6≤S≤6+8時,x的取值范圍為是≤x≤或≤x≤(Ⅱ)ac≤1
【解析】
(I)①由拋物線的頂點為A(-2,-4),可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)2-4,代入點B的坐標(biāo)即可求出a值,此問得解,②根據(jù)點A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式,進而可求出直線l的解析式,分點P在第二象限及點P在第四象限兩種情況考慮:當(dāng)點P在第二象限時,x<0,通過分割圖形求面積法結(jié)合4+6≤S≤6+8,即可求出x的取值范圍,當(dāng)點P在第四象限時,x>0,通過分割圖形求面積法結(jié)合4+6≤S≤6+8,即可求出x的取值范圍,綜上即可得出結(jié)論,(2)由當(dāng)x=c時y=0,可得出b=-ac-1,由當(dāng)0<x<c時y>0,可得出拋物線的對稱軸x=≥c,進而可得出b≤-2ac,結(jié)合b=-ac-1即可得出ac≤1.
(I)①設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)2﹣4,
∵拋物線經(jīng)過點B(﹣4,0),
∴0=a(﹣4+2)2﹣4,
解得:a=1,
∴該拋物線的解析式為y=(x+2)2﹣4=x2+4x.
②設(shè)直線AB的解析式為y=kx+m(k≠0),
將A(﹣2,﹣4)、B(﹣4,0)代入y=kx+m,
得:,解得:,
∴直線AB的解析式為y=﹣2x﹣8.
∵直線l與AB平行,且過原點,
∴直線l的解析式為y=﹣2x.
當(dāng)點P在第二象限時,x<0,如圖所示.
S△POB=×4×(﹣2x)=﹣4x,S△AOB=×4×4=8,
∴S=S△POB+S△AOB=﹣4x+8(x<0).
∵4+6≤S≤6+8,
∴,即,
解得:≤x≤,
∴x的取值范圍是≤x≤.
當(dāng)點P′在第四象限時,x>0,
過點A作AE⊥x軸,垂足為點E,過點P′作P′F⊥x軸,垂足為點F,則
S四邊形AEOP′=S梯形AEFP′﹣S△OFP′=(x+2)﹣x(2x)=4x+4.
∵S△ABE=×2×4=4,
∴S=S四邊形AEOP′+S△ABE=4x+8(x>0).
∵4+6≤S≤6+8,
∴,即,
解得:≤x≤,
∴x的取值范圍為≤x≤.
綜上所述:當(dāng)4+6≤S≤6+8時,x的取值范圍為是≤x≤或≤x≤.
(II)ac≤1,理由如下:
∵當(dāng)x=c時,y=0,
∴ac2+bc+c=0,
∵c>1,
∴ac+b+1=0,b=﹣ac﹣1.
由x=c時,y=0,可知拋物線與x軸的一個交點為(c,0).
把x=0代入y=ax2+bx+c,得y=c,
∴拋物線與y軸的交點為(0,c).
∵a>0,
∴拋物線開口向上.
∵當(dāng)0<x<c時,y>0,
∴拋物線的對稱軸x=﹣≥c,
∴b≤﹣2ac.
∵b=﹣ac﹣1,
∴﹣ac﹣1≤﹣2ac,
∴ac≤1.
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AC平分∠DAB,AC2=ABAD,∠ADC=90°,E為AB的中點.
(1)求證:△ADC∽△ACB;
(2)CE與AD有怎樣的位置關(guān)系?試說明理由;
(3)若AD=4,AB=6,求的值.
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【題目】如圖,有3條公路a、b、c兩兩相交,現(xiàn)在要修建加氣站,使得加氣站到3條公路的距離都相等.(1)滿足條件的加氣站共有 處.(2)請你找出加氣站P的位置,要求:①找出一個加氣站P的位置即可;②尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫做法.
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【題目】(11·漳州)(滿分8分)漳州市某中學(xué)對全校學(xué)生進行文明禮儀知識測試,為了解測試結(jié)果,隨機抽取部分學(xué)生的成績進行分析,將成績分為三個等級:不合格、一般、優(yōu)秀,并繪制成如下兩幅統(tǒng)計圖(不完整).請你根據(jù)圖中所給的信息解答下列問題:
(1)請將以上兩幅統(tǒng)計圖補充完整;
(2)若“一般”和“優(yōu)秀”均被視為達(dá)標(biāo)成績,則該校被抽取的學(xué)生中有_ ▲ 人達(dá)標(biāo);
(3)若該校學(xué)生有1200人,請你估計此次測試中,全校達(dá)標(biāo)的學(xué)生有多少人?
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點D在邊BC上,連接AD .
(1)試?yán)贸咭?guī)作圖,求作:線段AE,使得AE是線段AD繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到的,且(保留作圖痕跡,不寫作法于證明過程);
(2)連接DE交AC于F,若,求的度數(shù).
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,點E在AB上,AB=DC=DE, AD⊥AB,BC⊥AB,CF⊥DE,垂足分別為點A,B,F,AD=BC=6,EB=2.
(1)求證:CF=CB;
(2)求△DEC的面積S的值;
(3)若將△DEC沿著DE翻折得到△DEG,DG交AB于點T,試判斷線段DT與CE的長度是否相等:并說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,正比例函數(shù)y=x的圖象與一次函數(shù)y=kx﹣k的圖象的交點坐標(biāo)為A(m,2).
(1)求m的值和一次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)一次函數(shù)y=kx﹣k的圖象與y軸交于點B,求△AOB的面積;
(3)直接寫出使函數(shù)y=kx﹣k的值大于函數(shù)y=x的值的自變量x的取值范圍.
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C是⊙O上一點,過點C的直線交AB的延長線于點D,AE⊥DC,垂足為E,F是AE與⊙O的交點,AC平分∠BAE,連接OC.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若⊙O半徑為4,∠D=30°,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果用含π和根號的式子表示).
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