【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側(cè)),與y軸交于點C,且當(dāng)x=0和x=2時,y的值相等.直線y=3x﹣7與這條拋物線相交于兩點,其中一點的橫坐標(biāo)是4,另一點是這條拋物線的頂點M.
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)P為線段BM上一點,過點P向x軸引垂線,垂足為Q.若點P在線段BM上運動(點P不與點B、M重合),設(shè)OQ的長為t,四邊形PQAC的面積為S.求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍;
(3)在線段BM上是否存在點N,使△NMC為等腰三角形?若存在,請求出點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3.(2)S四邊形PQAC=﹣t2+t+(1<t<3).(3)N1(,﹣),N2(1+,﹣4),N3(2,﹣2).
【解析】
(1)當(dāng)x=0和x=2時,y的值相等,可知拋物線的對稱軸為x=1,將x=1代入直線的解析式中即可求出拋物線頂點的坐標(biāo),根據(jù)直線的解析式還可求出另一交點的坐標(biāo),可用頂點式二次函數(shù)通式來設(shè)拋物線的解析式,然后將另一交點的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式.
(2)由于四邊形QACP不是規(guī)則的四邊形,因此可將其分成直角三角形AOC和直角梯形QOCP兩部分進行計算.先求出直線BM的解析式,然后將x=t代入直線BM的解析式中即可求出QP的長,然后根據(jù)梯形的面積計算公式即可求出梯形QOCP的面積.然后根據(jù)四邊形QACP的面積計算方法即可得出S,t的函數(shù)關(guān)系式.
(3)可分三種情況進行討論:
①NM=MC;②NM=NC;③MC=NC.可根據(jù)直線BM的解析式設(shè)出N點的坐標(biāo),然后用坐標(biāo)系中兩點間的距離公式表示出各線段的長,根據(jù)上面不同的等量關(guān)系式可得出不同的方程,經(jīng)過解方程即可得出N點的坐標(biāo).
(1)由題意可知:拋物線的對稱軸為x=1.
當(dāng)x=1時,y=3x﹣7=﹣4,因此拋物線的頂點M的坐標(biāo)為(1,﹣4).
當(dāng)x=4時,y=3x﹣7=5,因此直線y=3x﹣7與拋物線的另一交點為(4,5).
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2﹣4,則有:a(4﹣1)2﹣4=5,解得:a=1,∴拋物線的解析式為:y=x2﹣2x﹣3.
(2)根據(jù)(1)的拋物線可知:A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣3);
易知直線BM的解析式為y=2x﹣6;
當(dāng)x=t時,y=2t﹣6;
因此PQ=6﹣2t;
∴S四邊形PQAC=S梯形QPCO+S△AOC=×(3+6﹣2t)×t+×3×1
即:S四邊形PQAC=﹣t2+t+(1<t<3).
(3)假設(shè)存在這樣的點N,使△NMC為等腰三角形.
∵點N在BM上,不妨設(shè)N點坐標(biāo)為(m,2m﹣6),則CM2=12+12=2,CN2=m2+[(6﹣2m)﹣3]2,MN2=(m﹣1)2+[4﹣(6﹣2m)]2.
△NMC為等腰三角形,有以下三種可能:
①若CN=CM,則m2+[(6﹣2m)﹣3]2=2,∴m1=,m2=1(舍去),∴N(,﹣).
②若MC=MN,則(m﹣1)2+[4﹣(6﹣2m)]2=12+12,∴m=1±.
∵1<m<3,∴m=1﹣舍去,∴N(1+﹣4).
③若NC=NM,則m2+[3﹣(6﹣2m)]2=(m﹣1)2+[4﹣(6﹣2m)]2.
解得:m=2,∴N(2,﹣2).
故假設(shè)成立.
綜上所述:存在這樣的點N,使△NMC為等腰三角形.且點N的坐標(biāo)分別為:
N1(,﹣),N2(1+﹣4),N3(2,﹣2).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在每個小正方形的邊長均為1的方格紙中有線段AB,其中點A、B均在小正方形的頂點上.
(1)在方格紙中畫出以BC為底的鈍角等腰三角形ABC,且點C在小正方形的頂點上;
(2)將(1)中的△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC(點A的對應(yīng)點是點D,點B的對應(yīng)點是點E),畫出△CDE;
(3)在(2)的條件下,連接BE,請直接寫出△BCE的面積.
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【題目】如圖1,點M為直線AB上一動點,△PAB,△PMN都是等邊三角形,連接BN,
(1)M點如圖1的位置時,如果AM=5,求BN的長;
(2)M點在如圖2位置時,線段AB、BM、BN三者之間的數(shù)量關(guān)系__________________;
(3)M點在如圖3位置時,當(dāng)BM=AB時,證明:MN⊥AB.
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示,圖象過點(﹣1,0),對稱軸為直線x=2,下列結(jié)論:(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若點A(﹣3,y1)、點B(﹣,y2)、點C(,y3)在該函數(shù)圖象上,則y1<y3<y2;(5)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的兩根為x1和x2,且x1<x2,則x1<﹣1<5<x2.其中正確的結(jié)論有( 。
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,分別以點A和點B為圓心,大于AB的長為半徑作弧,兩弧相交于M、N兩點,作直線MN,交BC于點D,連接AD.
(1)根據(jù)作圖判斷:△ABD的形狀是 ;
(2)若BD=10,求CD的長.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.
(1)用直尺和圓規(guī)作∠A的平分線,交BC于點D;(要求:不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)求S△ADC: S△ADB的值.
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【題目】(1)問題發(fā)現(xiàn):如圖1,和均為等邊三角形,點在的延長線上,連接,求證:.
(2)類比探究:如圖2,和均為等腰直角三角形,,點在邊的延長線上,連接.請判斷:①的度數(shù)為_________.②線段之間的數(shù)量關(guān)系是_________.
(3)問題解決:在(2)中,如果,求線段的長.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB═2,AD=,P是BC邊上的一點,且BP=2CP.
(1)用尺規(guī)在圖①中作出CD邊上的中點E,連接AE、BE(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)如圖②,在(1)的條體下,判斷EB是否平分∠AEC,并說明理由;
(3)如圖③,在(2)的條件下,連接EP并廷長交AB的廷長線于點F,連接AP,不添加輔助線,△PFB能否由都經(jīng)過P點的兩次變換與△PAE組成一個等腰三角形?如果能,說明理由,并寫出兩種方法(指出對稱軸、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和平移距離)
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【題目】為保障北京2022 年冬季奧運會賽場間的交通服務(wù),北京將建設(shè)連接北京城區(qū)-延慶區(qū)-崇禮縣三地的高速鐵路和高速公路.在高速公路方面,目前主要的交通方式是通過京藏高速公路(G6),其路程為220公里.為將崇禮縣納入北京一小時交通圈,有望新建一條高速公路,將北京城區(qū)到崇禮的道路長度縮短到100公里.如果行駛的平均速度每小時比原來快22公里,那么從新建高速行駛?cè)趟钑r間與從原高速行駛?cè)趟钑r間比為4:11.求從新建高速公路行駛?cè)绦枰嗌傩r?
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