Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以P（1，1）為圓心的⊙P與x軸，y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N，點(diǎn)F從點(diǎn)M出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，連接PF，過點(diǎn)PE⊥PF交y軸于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）

（1）若點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上（如圖所示），求證：PE=PF；

（2）在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)OE=a，OF=b，試用含a的代數(shù)式表示b；

（3）作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)F′，經(jīng)過M、E和F′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q，連接QE．在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得以點(diǎn)Q、O、E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P、M、F為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）b=2+a或2﹣a；（3）當(dāng)或或或時(shí)，以點(diǎn)Q、O、E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P、M、F為頂點(diǎn)的三角形相似．

【解析】

試題分析：（1）連接PM，PN，運(yùn)用△PMF≌△PNE證明.

（2）分兩種情況①當(dāng)t＞1時(shí)，點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上，0＜t≤1時(shí)，點(diǎn)E在y軸的正半軸或原點(diǎn)上，再根據(jù)（1）求解.

（3）分兩種情況，當(dāng)1＜t＜2時(shí)，當(dāng)t＞2時(shí)，三角形相似時(shí)還各有兩種情況，根據(jù)比例式求出時(shí)間t：

如答圖3，（Ⅰ）當(dāng)1＜t＜2時(shí)，

∵F（1+t，0），F(xiàn)和F′關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，∴F′（1﹣t，0）.

∵經(jīng)過M、E和F′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q，∴Q（1﹣t，0）.∴OQ=1﹣t.

由（1）得△PMF≌△PNE ，∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1.

當(dāng)△OEQ∽△MPF時(shí)，，即，

解得，（舍去）.

當(dāng)△OEQ∽△MFP時(shí)，，即，解得，（舍去）.

（Ⅱ）如答圖4，當(dāng)t＞2時(shí)，

∵F（1+t，0），F(xiàn)和F′關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，∴F′（1﹣t，0）

∵經(jīng)過M、E和F′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q，∴Q（1﹣t，0）∴OQ=t﹣1，

由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t.∴OE=t﹣1.

當(dāng)△OEQ∽△MPF時(shí)，，即，無(wú)解.

當(dāng)△OEQ∽△MFP時(shí)，∴，即，解得，.

綜上所述，當(dāng)或或或時(shí)，以點(diǎn)Q、O、E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P、M、F為頂點(diǎn)的三角形相似．

試題解析：【解析】
（1）證明：如答圖1，連接PM，PN，

∵⊙P與x軸，y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N，

∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN

∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°.

∵PE⊥PF，∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE.

在△PMF和△PNE中，，

∴△PMF≌△PNE（ASA）.∴PE=PF.

（2）①當(dāng)t＞1時(shí)，點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上，如答圖1，

由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1.

∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，

∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a.

②0＜t≤1時(shí)，如答圖2，點(diǎn)E在y軸的正半軸或原點(diǎn)上，

同理可證△PMF≌△PNE，

∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t，

∴b+a=1+t+1﹣t=2，

∴b=2﹣a，

（3）當(dāng)或或或時(shí)，以點(diǎn)Q、O、E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P、M、F為頂點(diǎn)的三角形相似．

考點(diǎn)：1.單動(dòng)點(diǎn)和軸對(duì)稱問題；2.切線的性質(zhì)；3.全等三角形的判定和性質(zhì)；4.相似三角形的判定和性質(zhì)；5.分類思想和方程思想的應(yīng)用.