Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，它與AB，BC，CA分別相切于點D、E、F．若∠ACB=90°，AB=AC=2，求圓的半徑．

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：計算題

分析：連結(jié)OD、OE、OF，設(shè)⊙O的半徑為r，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得BC=

2

AB=2

2

，再根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥AB，OF⊥AC，接著證明四邊形ADOF為正方形，得到AD=AF=OD=r，則BD=2-r，CF=2-r，然后根據(jù)切線長定理得BE=BD=2-r，CE=CF=2-r，所以2-r+2-r=2

2

，再解方程即可．

解答：解：連結(jié)OD、OE、OF，設(shè)⊙O的半徑為r，
在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，AB=AC=2，
∴BC=

2

AB=2

2

，
∵⊙O與AB，CA分別相切于點D、F，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，
∵∠A=90°，
∴四邊形ADOF為矩形，
∵OD=OF，
∴四邊形ADOF為正方形，
∴AD=AF=OD=r，
∴BD=2-r，CF=2-r，
∵⊙O與BC相切于點E，
∴BE=BD=2-r，CE=CF=2-r，
∴2-r+2-r=2

2

，
∴r=2-

2

，
即⊙O的半徑為2-

2

．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．也考查了切線長定理．