Question

當n=1，2，…，1995時，關于x的一元二次方程n（n+1）x²-（2n+1）x+1=0的根是A_n，B_n，試求|A₁-B₁|+|A₂-B₂|+…+|A₁₉₉₅-B₁₉₉₅|的值．

Answer 1

考點：根與系數的關系

專題：規(guī)律型

分析：根據根與系數的關系，可得兩根之和等于-

b

a

，兩根之積等于

c

a

，根據和的平方與差的平方的關系，可得|A_n-B_n|=

1

n(n+1)

，根據有理數的加法，可得答案．

解答：解：由根與系數的關系得A_n+B_n=

2n+1

n(n+1)

，A_n•B_n=

1

n(n+1)

．
由差的平方等和的平方減積的4倍，得
A_n-B_n=

(An+Bn)2-4AnBn

=

1

n(n+1)

．
|A₁-B₁|+|A₂-B₂|+…+|A₁₉₉₅-B₁₉₉₅|=

1

2

+

1

2×3

+

1

1995×1996

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

1995

-

1

1996

=1-

1

1996

=

1995

1996

．

點評：本題考查了根與系數的關系，利用了根與系數的關系：兩根之和等于-

b

a

，兩根之積等于

c

a

．