Question

如圖，⊙O的直徑AB為18，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，CD是過點(diǎn)E的弦，過點(diǎn)B的切線交AC的延長線于點(diǎn)F，且CD∥FB．
（1）若AC=12

2

，連接BC，分別求弦BC、CD的長．
（2）當(dāng)點(diǎn)E位于OB的什么位置時(shí)，以O(shè)、C、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，試說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),菱形的判定

專題：

分析：（1）利用勾股定理得出BC的長，再利用三角形面積得出EC的長，即可得出答案；
（2）利用對(duì)角線互相垂直且互相平分的四邊形是菱形求出即可．

解答：解：（1）∵⊙O的直徑AB為18，AC=12

2

，
∴BC=

AB2-AC2

=6，
∵過點(diǎn)B的切線交AC的延長線于點(diǎn)F，且CD∥FB，
∴∠ABF=∠AEC=90°，
∴EC×AB=BC×AC，
則EC=

BC×AC

AB

=

6×12 2

18

=4

2

，
故CD=2EC=8

2

；

（2）當(dāng)點(diǎn)E位于OB的中點(diǎn)位置時(shí)，以O(shè)、C、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，
理由：由（1）得：CE=DE，BO⊥CD，
當(dāng)EO=BE，
則DC與DC互相垂直，且互相平分，
故四邊形OCBD是菱形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理以及勾股定理等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．