【題目】已知正方形與正方形(點CE、F、G按順時針排列),是的中點,連接,.

1)如圖1,點在上,點在的延長線上,

求證:=ME,.ME

簡析: 由是的中點,ADEF,不妨延長EMAD于點N,從而構(gòu)造出一對全等的三角形,即 .由全等三角形性質(zhì),易證△DNE 三角形,進而得出結(jié)論.

2)如圖2, 的延長線上,點在上,(1)中結(jié)論是否成立?若成立,請證明你的結(jié)論;若不成立,請說明理由.

3)當AB=5,CE=3時,正方形的頂點C、EF、G按順時針排列.若點在直線CD上,則DM= ;若點E在直線BC上,則DM= .

【答案】1)等腰直角;(2)結(jié)論仍成立,見解析;(3.

【解析】

1)結(jié)論:DMEM,DM=EM.只要證明AMH≌△FME,推出MH=ME,AH=EF=EC,推出DH=DE,因為∠EDH=90°,可得DMEMDM=ME;
2)結(jié)論不變,證明方法類似;
3)分兩種情形畫出圖形,理由勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題即可;

解:(1 AMN FME ,等腰直角.

如圖1中,延長EMADH

∵四邊形ABCD是正方形,四邊形EFGC是正方形,
,
,
,
,
∴△AMH≌△FME,
,
,
,
DMEM,DM=ME

2)結(jié)論仍成立.

如圖,延長EMDA的延長線于點H,

∵四邊形ABCD與四邊形CEFG都是正方形,

,,

ADEF,.

,

∴△AMF≌△FME(ASA), …

,,.

DHE中,,,

,DMEM.

3)①當E點在CD邊上,如圖1所示,由(1)的結(jié)論可得三角形DME為等腰直角三角形,則DM的長為,此時,所以;

②當E點在CD的延長線上時,如圖2所示,由(2)的結(jié)論可得三角形DME為等腰直角三角形,則DM的長為,此時 ,所以 ;

③當E點在BC上是,如圖三所示,同(1)、(2)理可得到三角形DME為等腰直角三角形,

證明如下:∵四邊形ABCD與四邊形CEFG都是正方形, 且點EBC

AB//EF,∴,

MAF中點,∴AM=MF

∵在三角形AHM與三角形EFM中:

,

∴△AMH≌△FME(ASA),

,.

∵在三角形AHD與三角形DCE中:

,

AHD≌△DCE(SAS),

,

∵∠ADC=ADH+HDC=90°,

∴∠HDE=CDE+HDC=90°,

∵在DHE中,,,

∴三角形DME為等腰直角三角形,則DM的長為,此時在直角三角形DCE ,所以

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