Question

如圖，在邊長為a的正方形ABCD中，點(diǎn) G、M分別為AD、AB的中點(diǎn)，MN⊥MD，BN平分∠CBE并交MN于N．
（1）證明：∠ADM=∠NMB；
（2）證明：△DGM≌△MBN；
（3）求△DMN的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）通過角的計(jì)算由∠ADM+∠DMG=45°，∠DMG+∠NMB=135°-90°=45°得出∠ADM=∠NMB．
（2）求出∠MBN=∠DGM，再運(yùn)用ASA來求證△DGM≌△MBN．
（3）先運(yùn)用勾股定理求出DM的長度，再運(yùn)用△DGM≌△MBN知DM=MN求出△DMN的面積．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，點(diǎn) G、M分別為AD、AB的中點(diǎn)，
∴∠AGM=∠AMG=45°，
∴∠GMB=180°-∠AMG=135°，∠ADM+∠DMG=45°
又∵M(jìn)N⊥MD
∴∠DMN=90°
∴∠DMG+∠NMB=135°-90°=45°
∴∠ADM+∠DMG=∠DMG+∠NMB
∴∠ADM=∠NMB

（2）∵BN平分∠CBE
∴∠CBN=∠NBE=45°
∴∠MBN=135°
又∵∠DGM=180°-45°=135°
∴∠MBN=∠DGM
∵四邊形ABCD是正方形，點(diǎn) G、M分別為AD、AB的中點(diǎn)，
∴DM=MB
由（1）得∴∠ADM=∠NMB
∴△DGM≌△MBN（ASA）

（3）∵RT△DAM中，AM=

1

2

a，AD=a
∴DM=

( 1 2 a)2+a2

=

5

2

a
∵△DGM≌△MBN
∴MN=DM=

5

2

a
∴RT△DMNR的面積=

5

2

a×

5

2

a÷2=

5

8

a

點(diǎn)評(píng)：考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的知識(shí)，主要利用正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定來解題．