Question

【題目】（問(wèn)題情境）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P為BC所在直線上的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F．當(dāng)P在BC邊上時(shí)（如圖1），求證：PD+PE＝CF．

證明思路是：如圖2，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE＝CF．（不要證明）

（變式探究）（1）當(dāng)點(diǎn)P在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，其余條件不變（如圖3），試探索PD、PE、CF之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；

請(qǐng)運(yùn)用上述解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法完成下列兩題：

（結(jié)論運(yùn)用）（2）如圖4，將長(zhǎng)方形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，點(diǎn)P為折痕EF上的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分別為G、H，若AD＝16，CF＝6，求PG+PH的值．

（遷移拓展）（3）在直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝-x+8與直線l2：y＝﹣2x+8相交于點(diǎn)A，直線l1、l2與x軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C．點(diǎn)P是直線l2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線l1的距離為2．求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】【變式探究】證明見(jiàn)解析【結(jié)論運(yùn)用】8【遷移拓展】（﹣1，6），（1，10）

【解析】

【變式探究】

連接AP，同理利用△ABP與△ACP面積之差等于△ABC的面積可以證得；

【結(jié)論運(yùn)用】

過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥BC，垂足為Q，根據(jù)勾股定理和矩形的性質(zhì)解答即可；

【遷移拓展】

分兩種情況，利用結(jié)論，求得點(diǎn)P到x軸的距離，再利用待定系數(shù)法可求出P的坐標(biāo)．

變式探究:連接AP，如圖3：

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC＝S△ACP﹣S△ABP，

∴ABCF＝ACPE﹣ ABPD．

∵AB＝AC，

∴CF＝PD﹣PE；

結(jié)論運(yùn)用:過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥BC，垂足為Q，如圖④，

∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，

∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°．

∵AD＝16，CF＝6，

∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，

由折疊可得：DF＝BF，∠BEF＝∠DEF．

∴DF＝5．

∵∠C＝90°，

∴DC＝＝8．

∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，

∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC．

∴四邊形EQCD是長(zhǎng)方形．

∴EQ＝DC＝4．

∵AD∥BC，

∴∠DEF＝∠EFB．

∵∠BEF＝∠DEF，

∴∠BEF＝∠EFB．

∴BE＝BF，

由問(wèn)題情境中的結(jié)論可得：PG+PH＝EQ．

∴PG+PH＝8．

∴PG+PH的值為8；

遷移拓展:如圖，

由題意得：A（0，8），B（6，0），C（﹣4，0）

∴AB＝＝10，BC＝10．

∴AB＝BC，

（1）由結(jié)論得：P1D1+P1E1＝OA＝8

∵P1D1＝1＝2，

∴P1E1＝6 即點(diǎn)P1的縱坐標(biāo)為6

又點(diǎn)P1在直線l2上，

∴y＝2x+8＝6，

∴x＝﹣1，

即點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（﹣1，6）；

（2）由結(jié)論得：P2E2﹣P2D2＝OA＝8

∵P2D2＝2，

∴P2E2＝10 點(diǎn)P1的縱坐標(biāo)為10

又點(diǎn)P1在直線l2上，

∴y＝2x+8＝10，

∴x＝1，

即點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（1，10）