Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為A（-1，-1），與x軸交點(diǎn)M（1，0）．C為x軸上一點(diǎn)，且∠CAO=90°，線段AC的延長線交拋物線于B點(diǎn)，另有點(diǎn)F（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線Ac的解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)B做x軸的垂線，交x軸于Q點(diǎn)，交過點(diǎn)D（0，-2）且垂直于y軸的直線于E點(diǎn)，若P是△BEF的邊EF上的任意一點(diǎn)，是否存在BP⊥EF？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）利用頂點(diǎn)式將（-1，-1）代入求出函數(shù)解析式即可；
（2）首先根據(jù)題意得出C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，進(jìn)而聯(lián)立二次函數(shù)解析式，即可得出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）首先求出直線EF的解析式，進(jìn)而得出BP的解析式，進(jìn)而將y=-2x-7和y=

1

2

x+

1

2

聯(lián)立求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）設(shè)拋物線解析式為：y=a（x+1）²-1，將（1，0）代入得：
0=a（1+1）²-1，
解得；a=

1

4

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

4

（x+1）²-1；

（2）∵A（-1，-1），
∴∠COA=45°，
∵∠CAO=90°，
∴△CAO是等腰直角三角形，
∴AC=AO，
∴C（-2，0），
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
將A，C點(diǎn)代入得出：

-k+b=-1 -2k+b=0

，
解得：

k=-1 b=-2

，
∴直線AC的解析式為：y=-x-2，
將y=

1

4

（x+1）²-1和y=-x-2聯(lián)立得：

y= 1 4 (x+1)2-1 y=-x-2

，
解得：

x1=-1 y1=-1

，

x2=-5 y2=3

，
∴直線AC的解析式為：y=-x-2，B點(diǎn)坐標(biāo)為：（-5，3）；

（3）過點(diǎn)B作BP⊥EF于點(diǎn)P，
由題意可得出：E（-5，-2），設(shè)直線EF的解析式為：y=dx+c，
則

-d+c=0 -5d+c=-2

，
解得：

d= 1 2 c= 1 2

，
∴直線EF的解析式為：y=

1

2

x+

1

2

，
∵直線BP⊥EF，∴設(shè)直線BP的解析式為：y=-2x+e，
將B（-5，3）代入得出：3=-2×（-5）+e，
解得：e=-7，
∴直線BP的解析式為：y=-2x-7，
∴將y=-2x-7和y=

1

2

x+

1

2

聯(lián)立得：

y=-2x-7 y= 1 2 x+ 1 2

，
解得：

x=-3 y=-1

，
∴P（-3，-1），
故存在P點(diǎn)使得BP⊥EF，此時(shí)P（-3，-1）．

點(diǎn)評：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式以及垂直的兩函數(shù)系數(shù)關(guān)系等知識，求出C點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．