Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c經過A（-3，0）、C（0，4），點B在拋物線上，CB∥x軸，且AB平分∠CAO．
（1）求拋物線的解析式；
（2）線段AB上有一動點P，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點Q，求線段PQ的最大值；
（3）拋物線的對稱軸上是否存在點M，使△ABM是以AB為直角邊的直角三角形？如果存在，求出點M的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題,待定系數法求一次函數解析式,二次函數的最值,待定系數法求二次函數解析式,平行線的性質,等腰三角形的判定,相似三角形的判定與性質

專題：壓軸題,存在型

分析：（1）如圖1，易證BC=AC，從而得到點B的坐標，然后運用待定系數法求出二次函數的解析式．
（2）如圖2，運用待定系數法求出直線AB的解析式．設點P的橫坐標為t，從而可以用t的代數式表示出PQ的長，然后利用二次函數的最值性質就可解決問題．
（3）由于AB為直角邊，分別以∠BAM=90°（如圖3）和∠ABM=90°（如圖4）進行討論，通過三角形相似建立等量關系，就可以求出點M的坐標．

解答：解：（1）如圖1，
∵A（-3，0），C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
∵∠AOC=90°，
∴AC=5．
∵BC∥AO，AB平分∠CAO，
∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．
∴BC=AC．
∴BC=5．
∵BC∥AO，BC=5，OC=4，
∴點B的坐標為（5，4）．
∵A（-3，0）、C（0，4）、B（5，4）在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴

9a-3b+c=0 c=4 25a+5b+c=4

解得：

a=- 1 6 b= 5 6 c=4

∴拋物線的解析式為y=-

1

6

x²+

5

6

x+4．
（2）如圖2，
設直線AB的解析式為y=mx+n，
∵A（-3，0）、B（5，4）在直線AB上，
∴

-3m+n=0 5m+n=4

解得：

m= 1 2 n= 3 2

∴直線AB的解析式為y=

1

2

x+

3

2

．
設點P的橫坐標為t（-3≤t≤5），則點Q的橫坐標也為t．
∴y_P=

1

2

t+

3

2

，y_Q=-

1

6

t²+

5

6

t+4．
∴PQ=y_Q-y_P=-

1

6

t²+

5

6

t+4-（

1

2

t+

3

2

）
=-

1

6

t²+

5

6

t+4-

1

2

t-

3

2

=-

1

6

t²+

t

3

+

5

2

=-

1

6

（t²-2t-15）
=-

1

6

[（t-1）²-16]
=-

1

6

（t-1）²+

8

3

．
∵-

1

6

＜0，-3≤t≤5，
∴當t=1時，PQ取到最大值，最大值為

8

3

．
∴線段PQ的最大值為

8

3

．
（3）①當∠BAM=90°時，如圖3所示．
拋物線的對稱軸為x=-

b

2a

=-

5 6

2×(- 1 6 )

=

5

2

．
∴x_H=x_G=x_M=

5

2

．
∴y_G=

1

2

×

5

2

+

3

2

=

11

4

．
∴GH=

11

4

．
∵∠GHA=∠GAM=90°，
∴∠MAH=90°-∠GAH=∠AGM．
∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，
∴△AHG∽△MHA．
∴

GH

AH

=

AH

MH

．
∴

11 4

5 2 -(-3)

=

5 2 -(-3)

MH

．
解得：MH=11．
∴點M的坐標為（

5

2

，-11）．
②當∠ABM=90°時，如圖4所示．
∵∠BDG=90°，BD=5-

5

2

=

5

2

，DG=4-

11

4

=

5

4

，
∴BG=

BD2+DG2

=

( 5 2 )2+( 5 4 )2

=

5 5

4

．
同理：AG=

11 5

4

．
∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，
∴△AGH∽△MGB．
∴

AG

MG

=

GH

GB

．
∴

11 5 4

MG

=

11 4

5 5 4

．
解得：MG=

25

4

．
∴MH=MG+GH
=

25

4

+

11

4

=9．
∴點M的坐標為（

5

2

，9）．
綜上所述：符合要求的點M的坐標為（

5

2

，9）和（

5

2

，-11）．

點評：本題考查了平行線的性質、等腰三角形的判定、相似三角形的性質與判定、二次函數的最值等知識，考查了用待定系數法求一次函數及二次函數的解析式，考查了分類討論的思想，綜合性比較強．