Question

如圖1，把邊長(zhǎng)分別是為4和2的兩個(gè)正方形紙片OABC和OD′E′F′疊放在一起．

（1）操作1：固定正方形OABC，將正方形OD′E′F′繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到正方形ODEF，如圖2，連接AD、CF，線段AD與CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試證明你的結(jié)論；

（2）操作2，如圖2，將正方形ODEF沿著射線DB以每秒1個(gè)單位的速度平移，平移后的正方形ODEF設(shè)為正方形PQMN，如圖3，設(shè)正方形PQMN移動(dòng)的時(shí)間為x秒，正方形PQMN與正方形OABC的重疊部分面積為y，直接寫出y與x之間的函數(shù)解析式；

（3）操作3：固定正方形OABC，將正方形OD′E′F′繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到正方形OHKL，如圖4，求△ACK的面積．

 

 

Answer 1

（1）相等 見解析 （2）見解析 （3）8

【解析】【解析】
（1）相等

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠AOB=∠COF，

在△AOD和△COF中，

∴△AOD≌△COF（SAS），

∴AD=CF；

（2）①當(dāng)0≤x≤4﹣4時(shí)，y=22﹣（2﹣x）2=﹣x2+2x+2；

②當(dāng)4﹣4≤x≤2時(shí)，y=22﹣（2﹣x）2﹣（4+x﹣4）2；

③2≤x≤4﹣2時(shí)，y=22﹣（4+x﹣4）2；

④4﹣2≤x≤4時(shí)，y=（4﹣x）2

⑤x≥4時(shí)，y=0．

（3）連接OK，

∵∠COK=∠ACO=45°，

∴OK∥AC，

∴S△ACK=S△AOC=8．

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠AOB=∠COF，然后證得△AOD≌△COF后即可證得AD=CF；

（2）分當(dāng)0≤x≤4﹣4時(shí)、當(dāng)4﹣4≤x≤2時(shí)，2≤x≤4﹣2時(shí)、4﹣2≤x≤4時(shí)、x≥4時(shí)五種情況列出兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系式即可；

（3）連接OK，利用內(nèi)錯(cuò)角相等得到OK∥AC，然后得到S△ACK=S△AOC=8．