Question

如圖，已知：在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．求證：
（1）△AEH≌△CGF；
（2）四邊形EFGH是菱形．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定

專題：

分析：（1）由全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論；
（2）易證四邊形EFGH是平行四邊形，那么EF∥GH，那么∠HGE=∠FEG，而EG是角平分線，易得∠HEG=∠FEG，根據(jù)等量代換可得∠HEG=∠HGE，從而有HE=HG，易證四邊形EFGH是菱形．

解答：（1）證明：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C，
在△AEH與△CGF中，

AE=CG ∠A=∠C AH=CF

，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D．
又∵AE=CG，AH=CF，
∴BE=DG，BF=DH，
在△BEF與△DGH中，

BE=DG ∠B=∠D BF=DH

∴△BEF≌△DGH（SAS），
∴EF=GH．
又由（1）知，△AEH≌△CGF，
∴EH=GF，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∴HG∥EF，
∴∠HGE=∠FEG，
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG=∠FEG，
∴∠HEG=∠HGE，
∴HE=HG，
∴四邊形EFGH是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定．解題的關(guān)鍵是掌握兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．