Question

如圖、AC、AB是⊙O弦（AB＞AC）
（1）如圖1，請(qǐng)?jiān)贏C上確定一點(diǎn)E，使AC²=AE•AB，證明你的結(jié)論；
（2）在（1）的結(jié)論下延長EC到P，連結(jié)PB，若PB=PE，求證：PB是⊙O的切線；
（3）在條件（2）的情況下，若E是PD的中點(diǎn)，那么C是PE的中點(diǎn)嗎？若是，請(qǐng)證明；若不是，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）能找到一點(diǎn)E，使AC²=AE•AB．當(dāng)△ACE∽△ABE時(shí)就有這個(gè)結(jié)論；
（2）在條件（1）的結(jié)論下，PB和⊙O相切．
如圖連接BC，BO，并延長BO交圓與F，連接AF．利用（1）的結(jié)論可以得到∠ACB=∠AEC．根據(jù)PB=PE，可以得到∠PBE=∠PEB．再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和直徑所對(duì)的圓周角是直角，可以證明∠PBE+∠BAE=90°，從而證明題目結(jié)論；
（3）C是PE的中點(diǎn)．根據(jù)切線長定理可以得到PB²=PC•PD，而E是PD的中點(diǎn)，可以得到PE=PD，代入PB²=PC•PD中，變換就可以得到題目結(jié)論．

解答：解：（1）能找到一點(diǎn)E，使AC²=AE•AB．
當(dāng)∠AEC=∠ACB時(shí)，又∵∠A=∠A，
∴△ACE∽△ABE，
∴

AC

AB

=

AE

AC

，
故AC²=AE•AB；

（2）在條件（1）的結(jié)論下，PB和⊙O相切．
如圖連接BC，BO，并延長BO交圓與F，連接AF．
∵AC²=AE•AB，
∴△ACE∽△ABC．
∴∠ACB=∠AEC，而PB=PE．
∴∠PBE=∠PEB，而∠ACB+∠F=180°，∠AEC+∠PEB=180°，
∴∠F=∠PEB．
∴∠PBE=∠F，而∠F+∠ABF=90°，
∴∠ABF+∠PBE=90°．
∴PB和⊙O相切．

（3）根據(jù)（2）可以得到PB²=PC•PD．
而E是PD的中點(diǎn)，可以得到PE=DE．
∴PE²=（PE-CE）×2PE=2PE²-2PE•CE．
∴PE=2CE，
∴C是PE的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的切線的判定定理的證明．證明線段的乘積相等的問題一般可以轉(zhuǎn)化為三角形相似問題，證明切線的問題，可以轉(zhuǎn)化為證明切線是垂直于半徑，并且經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)．