Question

已知，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且∠EAC=∠B，以DE為直徑的半圓交AD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)M．
（1）判斷AF與DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）只用無刻度的直尺畫出△ADE的邊DE上的高AH；
（3）若EF=4，DF=3，求DH的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,圓周角定理,作圖—復(fù)雜作圖

專題：

分析：（1）AF=DF，理由是，求AE=DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出即可；
（2）根據(jù)銳角三角形的三條高交于一點(diǎn)畫出即可；
（3）證△ADH∽△EDF，得出比例式，代入求出即可．

解答：解：（1）AF=DF，
理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵∠B=∠CAE，
∴∠BAD+∠B=∠CAD+∠CAE．
即∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE，
∵DE是直徑，
∴EF⊥AD，
∴AF=DF；

（2）如圖：連接DM，DM交EF于G，作射線AG交DE于H，此時(shí)AH是高．

（3）由勾股定理得：AE=DE=5，
∵∠ADH=∠EDF，∠AHD=∠DFE=90°，
∴△ADH∽△EDF，
∴

DH

DF

=

AD

DE

，
∴

DH

3

=

6

5

，
∴DH=3.6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目比較好，難度適中．