Question

如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、AB上兩點，且BE=BF，過點B作AE的垂線交AC于點G，過點G作CF的垂線交BC于點H延長線段AE、GH交于點M．

（1）求證：∠BFC=∠BEA；

（2）求證：AM=BG+GM。

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)正方形的四條邊都相等，AB=BC，又BE=BF，所以△ABE和△CBF全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等即可證出；

（2）連接DG，根據(jù)正方形的性質(zhì)，AB=AD，∠DAC=∠BAC=45°，AG是公共邊，所以△ABG和△ADG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，BG=DG，對應(yīng)角相等∠2=∠3，因為BG⊥AE，所以∠BAE+∠2=90°，而∠BAE+∠4=90°，所以∠2=∠4，因此∠3=∠4，根據(jù)GM⊥CF和（1）中全等三角形的對應(yīng)角相等可以得到∠1=∠BFC=∠2，在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，所以DGM三點共線，因此△ADM是等腰三角形，AM=DM=DG+GM，所以AM=BG+GM．

（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，

在△ABE和△CBF中，

，

∴△ABE≌△CBF（SAS），

∴∠BFC=∠BEA；

（2）連接DG，

在△ABG和△ADG中，

，

∴△ABG≌△ADG（SAS），

∴BG=DG，∠2=∠3，

∵BG⊥AE，

∴∠BAE+∠2=90°，

∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°，

∴∠2=∠3=∠4，

∵GM⊥CF，

∴∠BCF+∠1=90°，

又∠BCF+∠BFC=90°，

∴∠1=∠BFC=∠2，

∴∠1=∠3，

在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，

∴∠DGC也是△CGH的外角，

∴D、G、M三點共線，

∵∠3=∠4（已證），

∴AM=DM，

∵DM=DG+GM=BG+GM，

∴AM=BG+GM．

考點：1.正方形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)．