Question

設(shè)拋物線y=2x²+kx+1-2k（k為常數(shù)）與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，并且A點(diǎn)在原點(diǎn)O的左側(cè)，B在原點(diǎn)O的右側(cè)，且（OA+OB）²-OC=

29

4

．求：在拋物線上是否存在D、E兩點(diǎn)，使AO恰好為△ADE的中線？若存在，求出△ADE的面積；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：先根據(jù)交點(diǎn)和系數(shù)的關(guān)系，求得k的值，得出解析式，求出A的坐標(biāo)，得出OA的長，在拋物線上是否存在D、E兩點(diǎn)，使AO恰好為△ADE的中線，則D、E是中心對稱點(diǎn)，設(shè)D（-a，b），則E（a，-b），聯(lián)立方程求得D的坐標(biāo)，即可求得△ADE的面積．

解答：解：存在；
設(shè)點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0），
由拋物線y=2x²+kx+1-2k（k為常數(shù)）可知，x₁+x₂=-

k

2

，x₁x₂=

1-2k

2

，開口向上，交于y軸的負(fù)半軸，
∴OA+OB=|x₁-x₂|，OC=2k-1，
∵（OA+OB）²-OC=

29

4

．
∴（OA+OB）²-OC=（x₁+x₂）²-4x₁x₂-（2k-1）=

29

4

，
即（-

k

2

）²-4（

1-2k

2

）-（2k-1）=

29

4

．解得，k=3或k=-11（不合題意舍去），
∴k=3，
∴拋物線為y=2x²+3x-5，
∴A（-

5

2

，0），B（1，0），
∵AO恰好為△ADE的中線，
∴D、E是中心對稱點(diǎn)，
∴設(shè)D（-a，b），則E（a，-b），
代入y=2x²+3x-5，得

2a2-3a-5=b 2a2+3a-5=-b

，
解得

a= 10 2 b=- 3 10 2

或

a=- 10 2 b= 3 10 2

，
∴D（-

10

2

，

3 10

2

），E（

10

2

，-

3 10

2

），
∴△ADE的面積=2×

1

2

OA•

3 10

2

=

5

2

×

3 10

2

=

15 10

4

．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線和x軸的交點(diǎn)問題，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，D、E是中心對稱點(diǎn)，是本題的關(guān)鍵．