Question

在等腰直角△ABC、△CDE中，∠A=∠E=90°，點(diǎn)D在邊BC的延長線上，BC=4，CD=2，線段AE的長為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,等腰直角三角形

專題：分類討論

分析：分兩種情況討論：①點(diǎn)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AE=AC+CE；②點(diǎn)A、C、E三點(diǎn)不共線時(shí)，AE=

AC2+CE2

．

解答：解：在等腰直角△ABC中，∵∠A=90°，BC=4，
∴∠B=∠ACB=45°，AC=BC•sin45°=2

2

．
在等腰直角△CDE中，∵∠E=90°，CD=2，
∴∠D=∠DCE=45°，CE=CD•sin45°=

2

．
分兩種情況：
①點(diǎn)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，如圖1．
AE=AC+CE=2

2

+

2

=3

2

；
②點(diǎn)A、C、E三點(diǎn)不共線時(shí)，如圖2．
∵點(diǎn)D在邊BC的延長線上，
∴∠DCB=180°，
∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCE=180°-45°-45°=90°．
連結(jié)AE．
在Rt△ACE中，∵∠ACE=90°，
∴AE=

AC2+CE2

=

(2 2 )2+( 2 )2

=

10

．
綜上可知，線段AE的長為3

2

或

10

．
故答案為3

2

或

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，難度適中．分類討論是解題的關(guān)鍵．