Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E是邊AB上的點(diǎn)，過點(diǎn)E作DE的垂直線交對角線BD于點(diǎn)O，交邊BC于點(diǎn)F．
（1）△ADE與△BEF相似嗎？說明理由；
（2）過點(diǎn)O作AB的垂線交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，連接NB、NE，若NB=NE，證明：線段BO是△BEF的EF邊上的中線；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，且AB=4，求線段DO的長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得∠A=∠ABC=90°，根據(jù)同角的余角相等，可得∠ADE=∠BEF，根據(jù)兩個(gè)角相等的三角形相似，可得答案；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得BM與EM的關(guān)系，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得BO與OD的關(guān)系，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得EG與AD的關(guān)系，BG與BD的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)，可得BF與EG的關(guān)系，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得

AD

BE

=

AE

BF

，根據(jù)比例的性質(zhì)，可得AD的長，根據(jù)勾股定理，可得BD的長，根據(jù)按比例分配，可得答案．

解答：解：（1）△ADE∽△BEF，理由如下：
∵ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°．
∵EF⊥DE，
∴∠AED+∠BEF=90°，
∴∠ADE=∠BEF，
∴△ADE∽△BEF．
（2）∵NB=NE，NM⊥BE，
∴BM=EM，MN∥BC，
∴MO是△EBF的中位線，
∴OE=OF，
∴BO是△BEF的邊EF上的中線．
（3）∵AB=4，E為AB的中點(diǎn)，
∴BE=

1

2

AB=2，BM=

1

2

BE=1．
∴CN=BM=1，DN=3．
∵BM∥DN，
∴△OBM∽△ODN，
∴

BO

DO

=

BM

DN

=

1

3

．
過E作EG⊥AB交BD于G，
∵E為AB中點(diǎn)，
∴EG是△ABD的中位線，
∴G為BD中點(diǎn)，
∴BG=

1

2

BD，EG=

1

2

AD，
∴BO=GO，
又∵OE=OF，
∴四邊形EGFB是平行四邊形．
∴BF=EG=

1

2

AD．
∵△ADE∽△BEF，
∴

AD

BE

=

AE

BF

，
∴AD•BF=AE•BE，即

1

2

AD²=2×2
AD=2

2

，
BD=

AD2+AB2

=

8+16

=2

6

∴OD=

3

4

BD=

3 6

2

．

點(diǎn)評：本題考查了相似形綜合題，利用了相似三角形的判定；等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中位線；相似三角形的性質(zhì)三角形的中位線，勾股定理，綜合性較強(qiáng)．