Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G.

（1）填空：如圖1，當(dāng)點(diǎn)G恰好在BC邊上時(shí)，四邊形ABGE的形狀是___________形；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)部時(shí)，延長(zhǎng)BG交DC邊于點(diǎn)F.

求證：BF=AB+DF；

若AD=AB，試探索線段DF與FC的數(shù)量關(guān)系.

Answer 1

【答案】正方形

【解析】

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G恰好在BC邊上時(shí)，四邊形ABGE的形狀是正方形，理由為：由折疊得到兩對(duì)邊相等，三個(gè)角為直角，確定出四邊形ABEG為矩形，再由矩形對(duì)邊相等，等量代換得到四條邊相等，即鄰邊相等，即可得證；

（2）①如圖2，連接EF，由ABCD為矩形，得到兩組對(duì)邊相等，四個(gè)角為直角，再由E為AD中點(diǎn)，得到AE=DE，由折疊的性質(zhì)得到BG=AB，EG=AE=ED，且∠EGB=∠A=90°，利用HL得到直角三角形EFG與直角△EDF全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到DF=FG，由BF=BG+GF，等量代換即可得證；

②CF=DF，理由為：不妨假設(shè)AB=DC=a，DF=b，表示出AD=BC，由①得：BF=AB+DF，進(jìn)而表示出BF，CF，在直角△BCF中，利用勾股定理列出關(guān)系式，整理得到a=2b，由CD-DF=FC，代換即可得證．

（1）正方形；

（2）①如圖2，連結(jié)EF，

在矩形ABCD中，AB=DC，AD=BC，∠A=∠C=∠D=90°，

∵E是AD的中點(diǎn)，

∴AE=DE，

∵△ABE沿BE折疊后得到△GBE，

∴BG=AB，EG=AE=ED，∠A=∠BGE=90°

∴∠EGF=∠D=90°，

在Rt△EGF和Rt△EDF中，

∵EG=ED，EF=EF，

∴Rt△EGF≌Rt△EDF，

∴ DF=FG，

∴ BF=BG+GF=AB+DF；

②不妨假設(shè)AB=DC=，DF=，

∴AD=BC=，

由①得：BF=AB+DF

∴BF=，CF=，

在Rt△BCF中，由勾股定理得：

∴，

∴，

∵，

∴，即：CD=DF，

∵CF=DF-DF，

∴3CF=DF.