Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）、B（4，0），點(diǎn)C是這個(gè)拋物線上一點(diǎn)且點(diǎn)C在第一象限，點(diǎn)D是OC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD并延長交AC于點(diǎn)E．
（1）求這個(gè)拋物線的解析式；
（2）求

CE

AE

的值；
（3）當(dāng)tan∠CAB=2時(shí)，求△CDE的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法可求出這個(gè)拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)O作OH∥AC交BE于點(diǎn)H，根據(jù)A、B的坐標(biāo)可得OA=2，OB=4，AB=6，證明OH=CE，將根據(jù)

CE

AE

=

OH

AE

=

BO

BA

，可得出答案；
（3）過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，設(shè)C（x，-x²+2x+8），則F（x，0），根據(jù)tan∠CAB=2，解出x的值，得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出△ABC的面積，連接OE，設(shè)S_△CDE=y，表示出△OCE，△OAE，△OAC的面積，繼而可求出y的值．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c過點(diǎn)A（-2，0）、B（4，0），
∴

-4-2b+c=0 -16+4b+c=0

，
解得：

b=2 c=8

，
∴y=-x²+2x+8．

（2）過點(diǎn)O作OH∥AC交BE于點(diǎn)H，
∵A（-2，0）、B（4，0），
∴OA=2，OB=4，AB=6，
∵D是OC的中點(diǎn)，
∴CD=OD，
∵OH∥AC，
∴

OH

CE

=

OD

CD

=1，
∴OH=CE，
∴

CE

AE

=

OH

AE

=

BO

BA

，
∴

CE

AE

=

2

3

．

（3）過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，
設(shè)C（x，-x²+2x+8），則F（x，0），
∴AF=x+2，CF=-x²+2x+8，
∵在Rt△AFC中，tan∠CAB=

CF

AF

=2，
∴

-x2+2x+8

x+2

=2，
解得：x=2，
∴C（2，8），
∴S△AOC=

1

2

×2×8=8，
連接OE，設(shè)S_△CDE=y，
∵OD=CD，
∴S_△ODE=S_△CDE=y，
∴S_△OCE=2y，
∵

CE

AE

=

2

3

，
∴

S△OCE

S△AOE

=

2

3

，
∴S_△OAE=3y，
∴S_△OAC=5y，
∴5y=8，
∴y=

8

5

．
∴△CDE的面積為

8

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積及銳角三角函數(shù)的定義，綜合性較強(qiáng)，解答此類綜合性題目，關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，難度較大．