Question

如圖，將矩形ABCD沿CE向上折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處．若AE=

2

3

BE，則長AD與寬AB的比值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）,勾股定理,矩形的性質(zhì)

專題：數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化思想

分析：由AE=

2

3

BE，可設(shè)AE=2k，則BE=3k，AB=5k．由四邊形ABCD是矩形，可得∠A=∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5k，AD=BC．由折疊的性質(zhì)可得∠EFC=∠B=90°，EF=EB=3k，CF=BC，由同角的余角相等，即可得∠DCF=∠AFE．在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理求出AF=

EF2-AE2

=

5

k，由cos∠AFE=cos∠DCF得出CF=3

5

k，即AD=3

5

k，進(jìn)而求解即可．

解答：解：∵AE=

2

3

BE，
∴設(shè)AE=2k，則BE=3k，AB=5k．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5k，AD=BC．
∵將矩形ABCD沿CE向上折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處，
∴∠EFC=∠B=90°，EF=EB=3k，CF=BC，
∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，
∴∠DCF=∠AFE，
∴cos∠AFE=cos∠DCF．
在Rt△AEF中，
∵∠A=90°，AE=2k，EF=3k，
∴AF=

EF2-AE2

=

5

k，
∴

AF

EF

=

CD

CF

，即

5 k

3k

=

5k

CF

，
∴CF=3

5

k，
∴AD=BC=CF=3

5

k，
∴長AD與寬AB的比值是

3 5 k

5k

=

3 5

5

．
故答案為：

3 5

5

．

點(diǎn)評：此題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理以及三角函數(shù)的定義．解此題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．